Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Простейшая обработка эмпирических данных

Предположим, что между независимой переменной х и зависимой переменной у имеется некая неизвестная функциональная связь у = f (x). Эта функция задана таблично

x x 0 x 1 xn
y y 0 y 1 yn

приближенных значений уi = f (xi), получаемых в ходе наблюдений или экспериментов. Требуется дать приближенное аналитическое описание этой связи, т.е. подобрать функцию j(x) такую, которая аппроксимировала бы на отрезке [ x 0, xn ] заданную отдельными приближенными значениями уi функцию f (xi).

Для решения этой задачи заведомо неудачным является интерполяционный подход хотя бы потому, что функция j(x) такая, что j(xi) = уi (при всех i Î{0,1,..., …, n }), будет мало похожа на искомую f (xi), поскольку в ней отразятся все ошибки экспериментальных данных. Уже это заставляет отказаться от идеи интерполяции и находить функцию j(x) такую, чтобы она хорошо отражала «в среднем» зависимость между х и у.

Конкретнее, из каких-либо соображений (аналитических, графических или иных) аппроксимирующая f (x) функция берется из определенного т -параметрического семейства функций, и ее параметры подбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисляемых значений j(xi) от заданных приближенных значений уi была минимальной. Такая функция (т.е. при таком оптимальном наборе параметров) будет наилучшей аппроксимацией f (x) среди функций выбранного семейства в смысле метода наименьших квадратов. Ясно, что число данных приближенных значений yi в таблице должно быть не меньшим, чем число параметров в подбираемой зависимости j(x); как правило, считается, что п >> т.

Итак, согласно МНК, задаем семейство у = j(х,а 1 2 ,...,ат) и ищем значения параметров а 1, а 2 ,..., ат, решая экстремальную задачу

Oоптимальный набор параметров может быть найден из системы уравнений

(18.4)

представляющей необходимые условия экстремума функции Ф(а 1, а 2,..., ат), в силу ее специфики, являющиеся и достаточными условиями ее минимума.

Если функция j(х,а 1 2 ,...,ат) есть линейная функция относительно своих параметров а 1, а 2,..., ат, то система (18.4) тоже будет линейной; в общем случае (18.4) — нелинейная система, что влечет за собой определенные трудности при ее решении. Спасительным в последней ситуации является тот факт, что обычно при задании семейств функций, аппроксимирующих реальные зависимости, число параметров берется небольшим 2 или 3, причем какие-то из этих параметров могут входить линейным образом.

В зависимости от характера табличных данных, изучаемого с помощью их изображения в соответствующей системе координат или с помощью некоторых прикидочных расчетов (см., например, [32, 36]), при обработке результатов экспериментов часто используют те или иные из следующих двухпараметрических семейств функций:

y = ax + b, y = a + b ln x (y = a + b lg x),

y = axb, y = aebx (y = a× 10 bx),

реже применяются трехпараметрические семейства

у = ах 2 +bх + с, у = ахb +с, y = aebx+c;

при изучении периодических явлений применяют тригонометрические функции.

Заметим, что вместо того, чтобы решать нелинейные системы, получающиеся из (3.4) при поиске параметров конкретных семейств функций, когда эти параметры входят туда нелинейным образом, можно попытаться сначала линеаризовать подбираемую зависимость.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
О многочленах наилучших равномерных приближений | Взаимоотношения в системе «паразит – хозяин»
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 282; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.