Свойства потенциального поля

1). Поле является потенциальным с потенциалом тогда и только тогда, когда .

2). Односвязное поле потенциально тогда и только тогда, когда в каждой точке поля .

3). В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути.

4). В потенциальном поле циркуляция по любому контуру, не охватывающему особых точек поля, равна нулю.

5). В потенциальном поле циркуляции по контурам, охватывающим все особые точки поля, равны между собой.

6). В потенциальном поле линейный интеграл по дуге равен разности потенциалов конца и начала дуги.

Проверим эти свойства.

1). Поле ─ потенциально, т.е. тогда и только тогда, когда

.

2). Это свойство следует из свойства 1) и теорем 11.5, 11.4.

3). Это свойство следует из свойства 1) и теоремы 11.5.

4). Это свойство является следствием свойства 2) и теоремы 11.4, так как поле внутри контура, не охватывающего особых точек, является односвязным.

5). Пусть ─ контуры, окружающие все особые точки поля (рис. 77); ориентируем контуры так, чтобы при обходе ограниченная ими область оставалась слева, т.е. против часовой стрелки, по часовой стрелке; контуры с такой ориентацией обозначим соответственно . На поверхности с границей поле потенциально, и потому по свойству 3) и теореме 11.4. Тогда по формуле Стокса

.

С другой стороны,

,

и, следовательно, .

6). Если поле потенциально и ─ его потенциал, то и по формуле (11.11)

.

В силовом потенциальном поле свойства 3 и 6 означают, что работа сил поля по дуге не зависит от формы дуги и равна разности потенциалов конца и начала дуги.

Рассмотрим способы отыскания потенциала поля .

Отыскание потенциала по выражению

Воспользуемся первым свойством потенциального поля. Если удается представить выражение в виде полного дифференциала некоторой функции , то поле ─ потенциально, а ─ его потенциал.

Пример 12.1. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал, если

.

Решение

1). .

Следовательно, поле ─ потенциально; ─ его потенциал.

2). .

Следовательно, поле потенциально; ─ его потенциал.

3). .

Следовательно, поле ─ потенциально; ─ его потенциал.

Дата добавления: 2014-01-04