Упорядоченные поля

В некоторых полях, наряду с бинарными операциями сложения и умножения элементов поля, вводятся отношения порядка, определенным образом связанные с бинарными операциями.

Такие поля называются упорядоченными.

Определение. Поле называется упорядоченным, если множество его элементов упорядочено и отношение строгого порядка удовлетворяет следующим условиям:

(18)

(19)

Условия (18) (19) этого определения связывают отношение строгого порядка с бинарными операциями, определенными в поле .

Условие (18) называется законом монотонности сложения, а

условие (19) – законом монотонности умножения.

Если элемент упорядоченного поля меньше элемента этого поля, то говорят, что элемент b больше чем элемент , и записывают

.

Теорема. Элемент упорядоченного поля тогда и только тогда больше элемента этого поля, когда .

Доказательство. В самом деле, если , то, в силу условия (18) (определения упорядоченного поля),

,

т. е. .

Обратно, если , то , т. е. .

Определение. Элемент упорядоченного поля называют положительным, если , его называют отрицательным, если .

Если элемент положителен, то противоположный ему элемент – а отрицательный, так как из , в силу условия (18) (определения упорядоченного поля), вытекает, что

, или .

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Дата добавления: 2014-01-04