Если число , то это означает, что в среднем в 90% случаев из 100% интервал накроет параметр а и в 10% случаев из 100% не накроет его

Метод доверительных интервалов разработан американским статистиком Ю.Нейманом, исходя из идей английского статистика Р.Фишера.

Нахождение границ доверительного интервала непосредственно зависит от закона распределения величины (это случайная величина), который, в свою очередь, определяется законом распределения случайной величины Х и, следовательно, зависит от его параметров (в частности, и от самого параметра а).

Ниже мы рассмотрим, как построить доверительный интервал для оценки математического ожидания М(х), среднего квадратического отклонения и вероятности события Р для известных законов распределения: нормального, биномиального.

3. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины

Пусть известно, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, но неизвестен ее параметр а (математическое ожидание).

Допустим, что точечную оценку параметра а по выборочной средней нашли, т.е. . Надо определить точность этой приближенной формулы при заданной надежности .

Эта задача решается в двух случаях: 1) когда параметр известен; 2) когда параметр неизвестен.

а) построение доверительного интервала для математического ожидания при известном .

, (**)

где: - заданная надежность (вероятность);

n – объем выборки;

t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором (см. приложение 2);

- точность оценки.

Исходя из обозначений для доверительного интервала нормально распределенной случайной величины имеем:

, где - функция Лапласа, значения которой приведены в приложении №2 Гмурман В.Е.

Если задана доверительная вероятность и объем выборки n, то из уравнения пользуясь таблицей Лапласа, можно найти значение аргумента , а отсюда .

Величина t – случайная и при известном имеет нормальное распределение, как и случайная величина Х. Величина t определяет число средних квадратических отклонений , которые надо отложить вправо и влево от центра рассеивания.

Заметим, что рассмотренную нами формулу (**) построения доверительного интервала для математического ожидания при известном , можно использовать при достаточно больших n и в случае, если закон распределения не является нормальным. В этом случае .

б) построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестном .

Пусть случайная величина Х – нормально распределена и неизвестна. Тогда:

,

где: - (в Гмурмане В.Е. обозначается s) необходимо определить по формуле точечной оценки параметра при , т.е. ;

- находят по таблице приложения 3 (Гмурман В.Е.) по заданным n и .

4. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Допустим, что найдена точечная оценка для равная , т.е. . Требуется найти доверительный интервал , накрывающий параметр с надежностью . Потребуем выполнения соотношения . Преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство . Обозначив ,получим при . При формула имеет вид . Для отыскания q составлена специальная таблица (см. приложение 4 Гмурман В.Е.). Вычислив по выборке и определив по таблице значение q, получим искомый доверительный интервал: , где .

4. Доверительный интервал для определения вероятности события Р (генеральной доли) при большом количестве опытов или большом объеме выборки

или в наших обозначениях предыдущей лекции .

Точечной оценкой вероятности Р события служит частота события. Для определения точности вычисления Р надо найти и записать .

Величины и n в этом случае связаны выражением:

,

где: - функция Лапласа, значения которой см. в Приложении 2 Гмурман В.Е.;

- частота появления события;

- частота не появления события.

Замечание. Если величины m и n неизвестны, то принимают , так как принимает максимальное значение при .

Замечание. Вы помните из прошлой лекции, что при больших n (порядка сотен) биномиальное распределение стремиться к нормальному.

Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности Р биномиального распределения по относительной частоте w при больших n служит доверительный интервал:

,

где t – определяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения .

В этом случае для оценки генеральной доли Р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле w будет использоваться формула:

.

Дата добавления: 2014-01-05