КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Предельный переход в неравенствах
Теорема 7.1. Пусть все члены сходящейся последовательности удовлетворяют неравенству . Тогда и предел этой последовательности удовлетворяет этому неравенству . Замечание 7.1. Если для членов сходящейся последовательности выполняется строгое неравенство , то предел этой последовательности может равняться этому числу: . Пример 7.1. Все члены последовательности -строго положительны (строго отрицательны), т.е. . Однако . Теорема 7.2. Пусть все члены сходящихся последовательностей и удовлетворяют неравенству . Тогда их пределы удовлетворяют этому неравенству . Замечание 7.2. Если для членов сходящихся последовательностей и выполняется строгое неравенство , то их пределы могут быть равными . Теорема 7.3. Пусть все члены сходящейся последовательности принадлежат промежутку , т.е. . Тогда и предел этой последовательности принадлежит этому промежутку, т.е. . Замечание 7.3. Если все члены сходящейся последовательности принадлежат промежутку , т.е. , то предел этой последовательности может не принадлежать этому промежутку, т.е. могут выполняться нестрогие неравенства . Теорема 7.4. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство .
8. Теоремы существования. Число Теорема 8.1. Монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел и имеет место равенство . Следствие 8.1. Последовательность , члены которой определяются равенством , является строго монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Из теоремы 8.1 следует, эта последовательность имеет предел и обозначается символом «»:
Число является иррациональным и приближенно равно . Следствие 8.2. Пусть последовательность стремится к нулю и последовательность к бесконечности, т.е. и . Тогда справедливы равенства . Теорема 8.2. Монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел и имеет место равенство . Теорема 8.3. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство .
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 469; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |