Собственные значения и собственные векторы матрицы. Рассмотрим квадратные матрицы размера или, что то же самое, матрицы порядка

Рассмотрим квадратные матрицы размера или, что то же самое, матрицы порядка .

При умножении матрицы порядка на -мерный вектор в произведении получается -мерный вектор:

Для любой матрицы существует набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число.

Определение. Число называется собственным значением матрицыпорядка , если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство

(44)

При этом называется собственным вектором матрицы.

Уравнение (44) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде:

(45)

где и - соответственно единичная матрица и нулевой вектор.

Если - элементы матрицы , то характеристическая матрица согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц имеет вид:

(46)

Множество всех собственных значений матрицы называется ее спектром. Система собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям матрицы , является линейно независимой. Иными словами, если матрица порядка имеет различных собственных значений, то ее собственные векторы образуют базис в пространстве .

Дата добавления: 2014-01-05