Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства простых чисел

1. Для " n Î N и любого простого p

2. (p 1, p 2) = 1, если p 1 ¹ p 2 – различные простые числа.

Заметим, что из соотношения натуральных чисел при n > 1, 1 < p, q < n следует, что либо , либо принадлежит отрезку [2; ]. Истори-чески первый метод проверки числа n на простоту заключался в делении его на простые числа, не превосходящие . Если среди таких чисел делителей не найдено, то n – простое число. Это один из вариантов так называемого «реше-та» Эратосфена, ставшего его наиболее знаменитым достижением. Эратосфен (ок. 276–194 до н. э.) – один из самых разносторонних ученых Античности.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…, [],

где [] – целая часть :

1) 2 – простое число, исключаем все числа, кратные 2 (2 | n – да или нет?);

2) 3 – простое число, исключаем все числа, кратные 3 (3 | n – да или нет?);

и т. д. до ближайшего к простого числа.

В целом «решето» Эратосфена решает более общую задачу нахождения всех простых чисел на отрезке натурального ряда [ m; n ], где m < n.

Теорема 1.3.2 (Евклид). Простых чисел бесконечно много.

Пусть p 1, p 2,…, pk, k Î N, – все простые числа. Рассмотрим число N = p 1 × p 2 ×…× pk + 1. N не делится ни на одно из pi, , т. к. в противном случае для некоторого i pi | 1 (свойство делимости целых чисел 6), что невозможно. Поэтому N является либо новым простым числом, либо составным, в последнем случае существует отличное от всех pi простое число p, где p | N.

Значение простых чисел в том, что они, согласно теореме 1.3.1, являются составными «кирпичиками» всех натуральных чисел. Распределение простых чисел среди натуральных весьма непредсказуемо, о чем свидетельствуют следующие две теоремы. Теорема 1.3.3, доказанная в 1852 г. выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821–1894), приводится здесь без доказательства.

Теорема 1.3.3 (П. Л. Чебышев). Между натуральными числами k и 2 k, k > 1, обязательно найдутся простые.

Теорема 1.3.4. Для всякого натурального n существует отрезок , k Î N, натурального ряда, все числа которого составные.

В самом деле, все следующие числа составные:

k = (n + 2)! + 2,…, k + n = (n + 2)! + 2 + n.

Действительно, k = 2 × (3 ×…× (n + 2) + 1),…, k + n = (n + 2) × (2 ×…× (n + 1) + 1) (здесь m! = 1 × 2 × 3 ×…× k для m Î N, 0! = 1).

Несмотря на теорему 1.3.4, для x Î N >2 количество p(x) всех простых чисел, меньших x, подчинено достаточно равномерному закону.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Простые числа | Теорема 1.3.5 (Ж. Адамар, Ш. Ж. Валле-Пуссен)
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1263; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.