Блочные матрицы

Возьмем произвольную матрицу . Разобьем эту матрицу на клетки с помощью горизонтальных и вертикальных линий. Перенумеруем полученные блоки, где первый индекс будет означать номер ряда, а второй — номер колонки, в которой стоит этот блок. Тогда

,

где блок = , причем , .

Определение 2.7.1. Матрицу, разбитую на клетки, называют блочной матрицей.

Если , — матрицы одного размера, одинаково разбитые на блоки, то сумма

.

Очевидно, что умножение блочной матрицы на число эквивалентно умножению каждого ее блока на данное число, таким образом,

.

Пусть , — блочные матрицы, причем

где , , .

Теорема 2.7.1. Произведение блочных матриц равно сумме произведений соответствующих блоков сомножителей:

. (2.7.1)

Доказательство. Сначала разобьем матрицу на блоки горизонтальными линиями, а матрицу Т — вертикальными, получаем две блочные матрицы

, .

Произведение является блочной матрицей, блоками которой являются произведения , т. е.

. (2.7.2)

Допустим теперь, что матрица разбита вертикальными линиями, а Т — горизонтальными, получаем

, .

В этом случае, очевидно, что произведение не является блочной матрицей, причем , где — строка матрицы S, а — столбец матрицы Т, поэтому

. (2.7.3)

Если теперь в формуле (2.7.2) каждую матрицу разбить вертикальными линиями, а каждый блок — горизонтальными линиями на блоков, то, применив формулу (2.7.3), окончательно получаем формулу (2.7.1).

Пусть

, , (2.7.4)

т. е. каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы Т.

Аналогично, если , , то

. (2.7.5)

Следовательно, каждый столбец произведения равен линейной комбинации столбцов матрицы .

Дата добавления: 2014-01-05