Обратная матрица

Определение 2.9.1. Правой обратной матрицей для матрицы называется такая матрица , что , где — единичная матрица.

Определение 2.9.2. Левой обратной матрицей для матрицы называется такая матрица , что , где — единичная матрица.

Определение 2.9.3. Матрица называется невырожденной, если , в противном случае, она называется вырожденной.

Определение 2.9.4. Матрица , одновременно являющаяся как правой, так и левой обратной матрицей, называется обратной матрицей для матрицы .

Теорема 2.9.1. Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Доказательство. Необходимость. Пусть

.

Достаточность. Пусть . Построим вспомогательную матрицу , состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы , следующим образом:

.

Произведение

. (2.9.1)

В соответствии с теоремой о разложении определителя по элементам какой-либо строки имеем

(2.9.2)

Следовательно, произведение

,

поэтому матрица является правой обратной матрицей.

Аналогично показывается, что является левой обратной матрицей. Таким образом, по определению обратная матрица

.

Определение 2.9.5. Матрица , построенная в ходе доказательства, называется присоединенной матрицей.

Следствие 2.9.1. У любой невырожденной матрицы кроме не существует других левых (правых) обратных матриц.

Доказательство. Пусть

.

Поскольку по условию

,

.

Следовательно, — единственная обратная матрица.

Следствие 2.9.2. Обратная матрица правой (левой) унитреугольной матрицы является правой (левой) унитреугольной матрицей.

Доказательство. Заметим, что определитель унитреугольной матрицы равен единице, поэтому соответствующая обратная матрица совпадает с присоединенной матрицей .

Рассмотрим произведение левой унитреугольной матрицы на матрицу . Так как , то в соответствии с формулами (2.9.1) и (2.9.2) первая строка произведения определяется соотношениями

,

,…,

,

т. е. имеем = 1, = 0, для любого . Для второй строки имеем

,

,

, …,

,

таким образом, , и т. д.

Теорема 2.9.2. Для любой невырожденной матрицы справедливы соотношения:

1. ;

2. ;

3. .

Доказательство.

1. .

2. .

3.

.

Теорема 2.9.3. Для любых невырожденных матриц и справедливо равенство

.

Доказательство. По условию

.

Возьмем матрицу и вычислим произведение

.

Следовательно, — левая обратная матрица.

Аналогично,

.

Таким образом, матрица одновременно является как правой, так и левой обратной матрицей, поэтому .

Теорема 2.9.4. Решение системы линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей имеет вид .

Доказательство. Пусть — решение системы. Тогда

.

С другой стороны, если подставить в систему, получаем равенство , т. е. является решением системы.

Найдем формулу построения обратной матрицы для ступенчатой матицы

,

где , , причем , . Тогда , поэтому у матрицы существует обратная матрица.

Допустим, что

,

причем , . Тогда в соответствии с правилами умножения блочных матриц, имеем

.

Сравнивая соответствующие блоки матриц, имеем следующие матричные соотношения

, = 0, = 0, .

Рассмотрим последовательно данные равенства. Поскольку , то из первого соотношения следует, что , а из второго — 0. Тогда из последнего равенства с учетом невырожденности матрицы получаем . Рассмотрим третье соотношение. Поскольку , то 0. Выражая из полученного равенства матрицу , имеем . Таким образом, окончательно получаем, что обратная матрица

.

Дата добавления: 2014-01-05