Базис и размерность линеала

Определение 3. 5.1. Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов e₁, e₂, …, e _n линеала L называется базисом линеала, если для каждого вектора x Î L найдутся вещественные числа g_i, i = 1, 2,…, n, что

x = .

Последнее равенство называют разложением вектора x по базису e₁, e₂, …, e _n.

На основании данного определения можно утверждать, что в векторном пространстве V ¹ произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве базисного, в пространстве V ² упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис, а в V ³ упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.

В пространстве R ⁿ векторы u1 = (1, 0,…, 0), u2 = (0, 1,…, 0),…, u n = (0, 0,…, 0, 1) образуют базис, поскольку они линейно независимы и любой вектор x = (g ₁, g ₂ ,…, g_n) Î R ⁿ представим в виде .

Отметим, что в определении базиса порядок элементов существенен, так как, переставляя элементы базиса, получаем снова базис, но уже другой.

Определение 3.5.2. Числа g ₁, g ₂,…, g_n, фигурирующие в разложении элемента x линеала L по заданному базису e₁, e₂, …, e _n называются координатами данного вектора относительно рассматриваемого базиса.

Теорема 3. 5.1. Координаты всякого элемента линеала L относительно заданного базиса определяются однозначно.

Доказательство. Допустим, что e₁, e₂, …, e _n — базис линеала L. Пусть для некоторого вектора x наряду с разложением x =существует еще и другое разложение x =. Но тогда справедливо равенство 0 =. Базисные элементы e₁, e₂, …, e _n линейно независимы, поэтому для всех i = 1, 2, …, n имеем g_i = m_i.

Теорема 3.5.2. При сложении элементов линеала L их координаты складываются, а при умножении вектора на вещественное число все его координаты умножаются на данное число.

Доказательство. Пусть элементы e₁, e₂, …, e _n образуют базис в L, x и y — произвольные элементы из L, λ — произвольное вещественное число, s = x + y, p = l x.

Ясно, что x =, y =, s =, p =. Используя аксиомы 1^° — 8^° линеала L, получаем

s = x + y =+=,

p = l x = λ () =.

В силу единственности разложения по базису имеем s_i = g_i + m_i, d_i = lg_i, i = 1, 2,…, n.

Теорема 3.5.3. Если каждый из (n + 1) элементов y0, y1,…, y n линеала L представим в виде линейной комбинации n линейно независимых элементов x₁, x₂,…, x _n того же линеала, т. е.

y_i = ,, (3.5.1)

то элементы y0, y1,…, y n линейно зависимы.

Доказательство см., например, учебник Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. «Геометрия».

Следствие 3.5.1. Любые (n + 1) векторов линейного пространства являются линейно зависимыми.

Доказательство. Возьмем произвольно векторы y k = (), . Поскольку u1 = (1, 0,…, 0), u2 = (0, 1,…, 0),…, u n = (0, 0,…, 0, 1) образуют базис в пространстве , то для любого имеем
y k = . Следовательно, в силу теоремы 3.5.3 произвольные (n + 1) векторов из линеала линейно зависимы.

Следствие 3.5.2. Любые два базиса линеала L содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть e₁, e₂, …, e _n базис линеала L, а другой базис этого же линеала. Так как , причем e₁, e₂, …, e _n линейно независимы. В силу теоремы 3.5.3 — линейно зависимы. Полученное противоречие и доказывает следствие.

Определение 3.5.3. Линеал L называют n - мерным, если в нем существует базис, состоящий из n векторов.

Число n называют размерностью линеала L и обозначают dim(L) = n.

Таким образом, размерность пространства — это наибольшее число его линейно независимых элементов.

Если линеал L является n- мерным и необходимо подчеркнуть его размерность, то обычно используют обозначение . Ясно, что dim(V 1) = 1 dim(V 2) = 2, dim(V 3) = 3.

Линеал Q, содержащий единственный нулевой элемент, является нуль–мерным.

Определение 3.5.4. Линеал L называется бесконечномерным, если для любого натурального числа N в нем найдется линейно независимая система, состоящая из N элементов.

Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.

Теорема 3.5.4. Для того чтобы линеал L был n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала линейно независимая система, состоящая из n элементов, а всякая система, содержащая более n векторов, была бы линейно зависимой.

Доказательство. Необходимость. Если линеал является n –мерным, то в нем существует базис e1, e2,…, e n, состоящий из n элементов. Произвольный вектор x_j Î L, представим в виде линейной комбинации векторов e1, e2,…, e n, поэтому любая совокупность более чем n элементов является линейно зависимой.

Достаточность. Пусть e1, e2,…, e n линейно независимые элементы. Возьмем произвольный вектор x Î L. По условию векторы e1, e2,…, e n, x линейно зависимы, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация α ₁e1 + α 2e2 +…+ αn e n + α x = 0, причем α ¹ 0. Но тогда x может быть разложен по e1, e2,…, e n, т. е. эти элементы — базис линеала L.

В n -мерном линеале L всякий базис состоит из n упорядоченных линейно независимых элементов, при этом любой вектор линеала Lⁿ единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных элементов.

Это утверждение не вытекает из аксиом 1^° – 8^° линейного пространства. Поэтому следует сформулировать новую аксиому.

9^°. (аксиома размерности). Линейное пространство L конечномерно и его размерность равна n.

При выполнении этой аксиомы из аксиом 1^° – 8^° очевидно вытекает сформулированное утверждение.

Дата добавления: 2014-01-05