Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости

Уравнением с угловым коэффициентом прямой на плоскости называют уравнение прямой, приведенное к виду

y = gx + β. (4.7.1)

Выясним смысл коэффициентов g и β в уравнении (4.7.1). Прямая p пересекает ось ординат (x = 0) в точке N(0, β). Отсюда β есть алгебраическая мера вектора , т. е. (рис. 4.7.1).

Рис. 4.7.1

Углом наклона прямой p к оси абсцисс называют наименьший положительный угол a, на который следует повернуть ось абсцисс вокруг точки J — точки пересечения этой прямой с данной осью, чтобы ось совпала с прямой p.

Если прямая параллельна оси абсцисс, то ее угол наклона считают равным нулю. Ясно, что 0 £ a < 180^°.

Пусть , где — орт нормального вектора данной прямой. Тогда a = q - 90^°, если a — острый угол, a = q + 90^°, если a — тупой угол, но в обоих случаях tga = - ctgq.

Общее уравнение прямой y = gx + β имеет вид

gx – y + β = 0,

причем ее нормальный вектор имеет орт

.

У единичного вектора координаты равны направляющим косинусам, т. е. , причем b x = q, b y = q - 90^°, если a — острый угол, b x = q, b y = - (90^° - q), если a — тупой угол, но в обоих случаях cosb x = cosq, cosb y = sinq и

.

А тогда

,

т. е. g = tg a.

Таким образом, коэффициент в уравнении (4.7.1) есть тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс и его называют угловым коэффициентом прямой на плоскости.

Подчеркнем, что угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, равен нулю, а угловой коэффициент прямой, перпендикулярной оси абсцисс, не существует.

Дата добавления: 2014-01-05