Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Распределение Максвелла

Читайте также:
  1. Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот.
  2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
  3. Влияние жесткости фундаментов на распределение контактных напряжений.
  4. Гамма-распределение
  5. Генерирование и распределение электроэнергии на судах.
  6. Географическое распределение мировой торговли
  7. Двойное показательное распределение
  8. За счет какого направления основного миграционного потока внутри России происходит перераспределение населения в пользу европейских регионов?
  9. И личное распределение доходов.
  10. Косвенные налоги и распределение налогового бремени.
  11. Напряженность электрического поля. Непрерывное распределение зарядов. Принцип суперпозиции полей.
  12. Нормальное распределение

Полная энергия системы равна сумме ее потенциальной и кинетической энергий.

Рассмотрим распределение Больцмана, в котором энергия системы представлена в виде суммы двух слагаемых. По свойству потенциальной функции, выражение можно разложить на произведение двух сомножителей, каждый из которых является функцией определенного вида энергии:

В таком виде выражение называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Сомножитель, зависящий от кинетической энергии, называется функцией Максвелла, а сомножитель, зависящий от потенциальной энергии – функцией Больцмана.

Найдем вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале .

Плотность вероятности этого – функция распределения Максвелла.

Определим константу из условия нормировки:

, так как компоненты скорости независимы, то

. Обозначим константу , , тогда после замены мы получим табличный интеграл:

, значение интеграла , отсюда получим

, следовательно:

.

Таким образом - плотность вероятности молекул иметь скорость в интервале от , распределение молекул по проекциям координат.

Теперь найдем вероятность того, что молекулы имеют скорость в интервале по абсолютному значению (по модулю). Для этого перейдем от распределения проекций скоростей к распределению по модулю скорости. Удобнее переход сделать в системе сферических координат.

Оператор Лапласа дает коэффициент перехода от декартовой системы координат к сферической:

,

Нас интересуют только абсолютные значения, поэтому:

, с учетом вычисленных интегралов:

, отсюда плотность вероятности:

Зная плотность распределения молекул по абсолютному значению скорости, мы можем рассчитать три характеристические скорости движения молекул идеального газа.

Средняя арифметическая скорость:

выделим для замены переменной

сделаем замену переменной

и учтем, значение табличного интеграла: , , получим после сокращения констант:

, где - постоянная Больцмана, - масса молекулы, преобразуем, умножив числитель и знаменатель дроби на число Авогадро:

, где - молярная масса компоненты системы.

Результат: - средняя арифметическая скорость движения молекул идеального газа.

Средняя квадратичная скорость:

,

сделаем замену переменной:

, тогда , , отсюда ,

, разделим переменные и найдем связь между и

 

, подставим полученное значение в дифференциал:

, .

Подставим все в интеграл:

преобразуем,

, учтем значение табличного интеграла:

, таким образом

- средняя квадратичная скорость.

Наиболее вероятная скорость:

Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму кривой распределения молекул по скоростям, т.е. должно выполнятся условие:



обозначим константу и найдем производную произведения

так как величина , то должно выполняться условие:

, ,

- скорость наиболее вероятная.

 

При комнатной температуре средняя арифметическая скорость движения молекул:

, а характеристические скорости водорода в 4 раза больше.

Как посчитать число молекул, скорости которых лежат в заданном диапазоне?

Если - число молекул в единице объема, то - число молекул, скорости которых распределены в интервале от до равно:

, если учесть что , и введя переменные , , , то

- такой вид более нагляден, для анализа формы кривой распределения Максвелла. В книгах имеются таблицы интеграла: с их помощью упрощаются вычисления величины .

Из таблиц в частности находим, что:

Т.о. большая часть молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наиболее вероятной, а молекул со скоростями вне этого интервала сравнительно мало.

Для экспериментальной проверки было проделано много опытов. Самый известный – опыт Штерна (1920). На оси двух коаксиальных цилиндров (и ) расположена платиновая нить, покрытая слоем . Нить нагревали током, серебро испарялось, и его атомы хаотично вылетали по всем радиальным направлениям. При этом они имели и различные скорости движения. Воздух внутри цилиндров откачивался, чтобы столкновения молекул серебра с молекулами воздуха не искажали картину. Атомы серебра равномерно покрывали поверхность внешнего цилиндра, что указывало на равновероятность всех направлений их скорости. Затем во внутреннем цилиндре - узкая щель, диафрагмирующая пучок атомов по направлению (скорости любые по величине). Внешний цилиндр приводили во вращение () об/мин.

В зависимости от скорости атомы попадают на разные участки поверхности вращающегося цилиндра, согласно формуле на участок АВ:

Þ .

Чем больше атомов осаждается на стенке, тем толще пленка. Измеряя толщину пленки, можем определить число атомов, обладающих скоростью, лежащей в некотором диапазоне, т.е. построить диаграмму, которая при сглаживании схожа с кривой распределения Максвелла .

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Этапы репликации | Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 2150; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.