КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Распределение Максвелла
Полная энергия системы равна сумме ее потенциальной и кинетической энергий. Рассмотрим распределение Больцмана, в котором энергия системы представлена в виде суммы двух слагаемых. По свойству потенциальной функции, выражение можно разложить на произведение двух сомножителей, каждый из которых является функцией определенного вида энергии: В таком виде выражение называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Сомножитель, зависящий от кинетической энергии, называется функцией Максвелла, а сомножитель, зависящий от потенциальной энергии – функцией Больцмана. Найдем вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале . Плотность вероятности этого – функция распределения Максвелла. Определим константу из условия нормировки: , так как компоненты скорости независимы, то . Обозначим константу , , тогда после замены мы получим табличный интеграл: , значение интеграла , отсюда получим , следовательно: . Таким образом - плотность вероятности молекул иметь скорость в интервале от , распределение молекул по проекциям координат. Теперь найдем вероятность того, что молекулы имеют скорость в интервале по абсолютному значению (по модулю). Для этого перейдем от распределения проекций скоростей к распределению по модулю скорости. Удобнее переход сделать в системе сферических координат. Оператор Лапласа дает коэффициент перехода от декартовой системы координат к сферической: , Нас интересуют только абсолютные значения, поэтому: , с учетом вычисленных интегралов: , отсюда плотность вероятности: Зная плотность распределения молекул по абсолютному значению скорости, мы можем рассчитать три характеристические скорости движения молекул идеального газа. Средняя арифметическая скорость: выделим для замены переменной сделаем замену переменной и учтем, значение табличного интеграла: , , получим после сокращения констант: , где - постоянная Больцмана, - масса молекулы, преобразуем, умножив числитель и знаменатель дроби на число Авогадро: , где - молярная масса компоненты системы. Результат: - средняя арифметическая скорость движения молекул идеального газа. Средняя квадратичная скорость: , сделаем замену переменной: , тогда , , отсюда , , разделим переменные и найдем связь между и
, подставим полученное значение в дифференциал: , . Подставим все в интеграл: преобразуем, , учтем значение табличного интеграла: , таким образом - средняя квадратичная скорость. Наиболее вероятная скорость: Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму кривой распределения молекул по скоростям, т.е. должно выполнятся условие: обозначим константу и найдем производную произведения так как величина , то должно выполняться условие: , , - скорость наиболее вероятная.
При комнатной температуре средняя арифметическая скорость движения молекул: , а характеристические скорости водорода в 4 раза больше. Как посчитать число молекул, скорости которых лежат в заданном диапазоне? Если - число молекул в единице объема, то - число молекул, скорости которых распределены в интервале от до равно: , если учесть что , и введя переменные , , , то - такой вид более нагляден, для анализа формы кривой распределения Максвелла. В книгах имеются таблицы интеграла: с их помощью упрощаются вычисления величины . Из таблиц в частности находим, что: Т.о. большая часть молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наиболее вероятной, а молекул со скоростями вне этого интервала сравнительно мало. Для экспериментальной проверки было проделано много опытов. Самый известный – опыт Штерна (1920). На оси двух коаксиальных цилиндров (и ) расположена платиновая нить, покрытая слоем . Нить нагревали током, серебро испарялось, и его атомы хаотично вылетали по всем радиальным направлениям. При этом они имели и различные скорости движения. Воздух внутри цилиндров откачивался, чтобы столкновения молекул серебра с молекулами воздуха не искажали картину. Атомы серебра равномерно покрывали поверхность внешнего цилиндра, что указывало на равновероятность всех направлений их скорости. Затем во внутреннем цилиндре - узкая щель, диафрагмирующая пучок атомов по направлению (скорости любые по величине). Внешний цилиндр приводили во вращение () об/мин. В зависимости от скорости атомы попадают на разные участки поверхности вращающегося цилиндра, согласно формуле на участок АВ: Þ . Чем больше атомов осаждается на стенке, тем толще пленка. Измеряя толщину пленки, можем определить число атомов, обладающих скоростью, лежащей в некотором диапазоне, т.е. построить диаграмму, которая при сглаживании схожа с кривой распределения Максвелла .
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 3026; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |