Распределение касательных напряжений при кручении

Рассмотрим консольный брус круглого поперечного сечения, нагруженный парой сил с моментом m, плоскость действия которого ортогональна оси бруса (рис. 5.1, а). Применяя метод сечений, устанавливаем, что в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент (рис. 5.1, б).

(а) (б)

Рис. 5.2

Выделим элемент бруса длиной dz, рис. 5.3

Рис. 5.3

Пусть радиус вала равен r. Выделим внутри вала цилиндр с радиусом основания ρ < r и рассмотрим деформации образующей наружного цилиндра aA и внутреннего – bB. При кручении aA повернется на угол γ и займет положение aA ', bB займет положение bB ', повернувшись на угол γ_ρ. Выразим углы поворота γ, γ_ρ через угол закрутки поперечного сечения dφ. Имеем

.

С другой стороны, из геометрии поперечного сечения для дуг AA ' и BB ' выполняется

.

С учетом того, что aA = bB = dz, получаем

.

Так как кручение бруса есть взаимный сдвиг поперечных сечений, то, согласно закону Гука, при сдвиге касательное напряжение τ выразится через γ следующим образом:

. (5.1)

При ρ = 0 τ_ρ = 0, при ρ = ρ _max = r имеем τ_ρ = τ _max.

Таким образом, касательное напряжение пропорционально расстоянию по радиусу от центра поперечного сечения вала и достигает максимального значения на его внешней поверхности. Распределение напряжений можно представить треугольной эпюрой, рис. 5.4.

Рис. 5.4

5.2 Связь между касательным напряжением
и внутренним крутящим моментом

Найдем связь между касательным напряжением τ и крутящим моментом. Для этого воспользуемся методом сечений, рис. 5.5. Рассмотрим поперечное сечение вала на расстоянии z от заделки.

Рис. 5.5

Рассмотрим равновесие отсеченной части. На элементарной площадке dA на расстоянии ρ от центра действует сдвиговое (касательное) напряжение τ_ρ. Элементарная сила, действующая на площадке dA

.

Элементарный момент силы dQ относительно оси z

.

Суммарный момент, собираемый с площади A, будет

.

Подставляя сюда выражение τ_ρ из (5.1), получим

.

Здесь - полярный момент инерции сечения. Значит

.

Из условия равновесия отсеченной части M = M _кр. Следовательно,

. (5.2)

Из закона Гука при сдвиге (5.1) имеем

.

Отсюда получаем искомое соотношение между касательным напряжением и крутящим моментом

. (5.3)

Максимальное значение касательного напряжения по радиусу вала будет

. (5.4)

Здесь W_ρ – полярный момент сопротивления

.

Для кольцевого сечения

Рис. 5.6

полярный момент сопротивления

,

где . Для круглого сечения и получаем

.

Дата добавления: 2014-01-05