Методические указания по теме

Методику расчета средних величин и коэффициентов вариации рас­смотрим на примере группы студентов или слушателей из 21 чел. (N =21), каждый из которых имеет возраст X = 28, 36, 30, 22, 22, 40, 29, 27, 21, 23, 35, 30, 32, 33, 29, 37, 29, 39, 23, 22, 22 лет. Требуется определить средний возраст и установить его типичность или не типичность с помощью линейного и квадратического коэффициентов вариации.

Поскольку данные не упорядочены, то средний возраст определяем по формуле (1.13) как простую среднюю арифметическую величину

= (28+36+30+…+23+22+22)/21 = 29 лет.

Для применения формулы средней арифметической взвешенной выполним первичную (дискретную) группировку данных, расположив их в порядке увеличения возраста и определяя повторяемость, встречаемость или частоту одинакового возраста, как показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Первичная или дискретная группировка данных

Xi

fi

Тогда по формуле (1.14) средний возраст будет равен

= (21*1+22*4+23*2+…+37*1+39*1+40*1)/21 = 29 (лет).

Хотя результат и оказался одинаковым, но первичная группировка дает более четкое представление о структуре статистической совокуп­ности. В данном примере это возрастная структура группы студентов. К тому же, она позволяет перейти к определению линейного коэффици­ента вариации.

Так, по формуле (1.23) среднее линейное отклонение взвешенное равно

Л = 4,857 лет

а линейный коэффициент вариации по формуле (1.28) равняется

= 4,857/29 = 0,168

Вывод: средний возраст 29 лет является типичным для рассмотрен­ной группы студентов, т.к. расчетный коэффициент вариации оказался меньше его критериального значения (0,168 0,333).

Дополнительно определяется коэффициент осцилляции, для чего предварительно по формуле (1.31) находим размах вариации

R = 40-21 = 19 (лет).

Значит, по формуле (1.30) коэффициент осцилляции равняется

Кос = 19/29 = 0,655.

Для нахождения квадратического коэффициента вариации выполним вторичную (интервальную) группировку данных, используя формулу Стерджесса для определения оптимального количества интервалов п. Эта формула имеет вид

n = 1 +3,322 lg N, (1.33)

позволяя затем находить необходимый размах интервала как отношение

X_и = R / n. (1.34)

Подставляя данные примера в эти формулы, находим количество ин­тервалов n =1+ 3,322 lg 21 = 1+3,322*1,322 = 5,4. Так как количество интервалов не может быть дробным, то его нужно округлить до ближайшего целого числа (по правилам округления). То есть нужно принять 5 интервалов.

По формуле (1.32) размах интервала будет равен 19/5 = 3,8, то есть 3,8 года. Интервальная группировка данных приведена в первом столбце табл. 1.2, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1.2 Промежуточные расчеты по интервальной группировке данных

Xi, лет	fi	ХИ	XИfi	ХИ-	(ХИ-)^2	(ХИ-)^2fi
до 24,8		22,9	160,3	-6,333	40,111	280,7778
24,8-28,6		26,7	53,4	-2,533	6,418	12,83556
28,6-32,4		30,5		1,267	1,604	9,626667
32,4-36,2		34,3	102,9	5,067	25,671	77,01333
36,2-40		38,1	114,3	8,867	78,618	235,8533
Итого		—	613,9	—	—	616,1067

В табл. 1.2 пер­вый и последний интервалы открытые, не имея нижней или верхней границы диапазона, а промежуточные интервалы закрытые, имея обе границы. Нахождение середин закрытых интервалов затруднений не вызывает, а с открытыми интервалами поступают следующим образом: к открытому интервалу применяют размах соседнего (смежного), но так как размах всех интервалов в нашем примере одинаков и равен 3,8 года, то и здесь затруднений не должно быть.

У первого интервала отсутствует нижняя граница и находят ее путем вычитания размаха смежного интервала из имеющейся верхней грани­цы, получая тем самым закрытый интервал, середина которого опреде­ляется легко. В данном примере имеем 24,8–3,8 = 21 год, значит, середина этого интервала будет равна (21+24,8)/2 = 22,9 года.

У последнего интервала отсутствует верхняя граница и находят ее путем прибавления размаха смежного интервала к имеющейся нижней границе, получая тем самым также закрытый интервал. В данном при­мере имеем 36,2+3,8 = 40 (лет), значит, середина интервала 36,2-40 будет 38,1 лет.

По итогам табл. 1.2 определяются такие характеристики, как средний возраст по формуле (1.14)

= 613,9/21 = 29,2333 (лет).

Как видим, результат несколько отличается от предыдущего, что вы­звано неизбежным округлением расчетного количества интервалов. Чем больше количество интервалов и меньше их размах, тем меньше будет разница в результатах.

Затем по формуле (1.25) определяется взвешенная дисперсия откло­нений

Д = 616,1067/21=29,3384 лет².

Далее по формуле (1.26) находится среднее квадратическое отклоне­ние

= = 5,4165 лет.

И, наконец, по формуле (1.29) рассчитывается квадратический ко­эффициент вариации

= 5,4165 /29,2333 = 0,185.

По значению этого коэффициента делается вывод о типичности среднего возраста 29,23 лет для рассмотренной группы студентов, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериаль­ного (0,185 < 0,333).

Рассмотренный пример подтвердил возможность одинаковых выво­дов о типичности или не типичности средней величины с помощью ли­нейного и квадратического коэффициентов вариации и показал, что приход к конкретному выводу осуществляется значительно проще и быстрее с помощью линейного коэффициента.

Дата добавления: 2014-01-05