Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого

Как мы уже знаем, в ЭВМ наибольшее применение находит система с основаниями 2, 4, 8, 16, т.е. системы которые кратны степени 2. Поэтому целесообразно рассмотреть лишь правила перевода чисел в этих системах. Аналогичные правила будут справедливы и для других систем. Допустим, что имеется некоторое целое число N₈в 8-ой системе. Оно может быть представлено в виде:

N₈ = a₁*8^n-1 + a₂*8^n-2 + a₃*8^n-3 +... + a_n-2*8² + a_n-1*8¹ + a_n*8⁰.

Пусть каким-либо образом мы получили запись этого числа в виде двоичного, т.е.:

N₂ = b₁*2^k-1 + b₂*2^k-2 +... + b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰.

Разделим эти выражения на 2³ = 8:

a₁*8^n-2 + a₂*8^n-3 + a₃*8^n-4 +... + a_n-1*8⁰ + a_n*8^-1 ------- дробная часть b₁*2^k-4 + b₂*2^k-5 +... + b_k-3*2⁰ + b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3 ------------------------- дробная часть

Так как числа были равны, то получается одинаковые частные и одинаковые остатки:

a_n*8^-1 = b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3. (6.2)

Если снова разделим целые части на 2³ = 8, то опять получим равные частные и равные остатки.

При этом видим, что каждой восьмеричной цифре соответствует её двоичный эквивалент. Поэтому перевод выполняется простой заменой цифры восьмеричной системы её двоичным эквивалентом и обратно.

Пример:

62,753₈ = 110010,111101011₂

Аналогично для 4-ой системы:

321,2233₄ = 111001,10101111₂

Аналогично для 16-ой системы:

1D876,72 = 00011101100001110110,01110010₂

Из этих примеров видим, что чем выше основание системы счисления, тем компактнее запись.

bk-2	bk-1	bk	an

Если умножить последние соотношения (6.2) на 8, то:

a_n*8^-1*8 = (b_k-2*2^-1 + b_k-1*2^-2 + b_k*2^-3)*2³a_n = b_k-2*2² + b_k-1*2¹ + b_k*2⁰

Дата добавления: 2014-01-05