Лекция 9. «Электрическая цепь переменного тока (часть 2)

«Электрическая цепь переменного тока (часть 2). Резонанс»

Основные определения резонанса.

Резонансом называется резкий рост амплитуды колебаний в системе при вводе в систему энергии с помощью внешнего воздействия совершенно определенного вида.

Резонанс играет в радиотехнике особую роль. Благодаря резонансу осуществляется передача информации в большинстве радиотехнических систем. Именно резонанс позволяет "вырезать" узкий участок частотного диапазона, выделить необходимый сигнал из огромного многообразия сигналов, существующих одновременно в эфире или линии связи.

Резонансными или колебательными цепями называются электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжений или токов.

Резонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю реактивная мощность на выводах цепи.

Резонанс напряжений наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. В радиотехнике ее называются последовательным колебательным контуром.

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой части цепи, последовательно соединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах контура равны нулю.

В свою очередь резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. В радиотехнике ее называются параллельным колебательным контуром.

При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной с первой. В результате реактивная проводимость и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.

Исследование резонансных режимов в электрических цепях заключается в нахождении резонансной частоты, зависимостей различных величин от частоты (частотных характеристик) или параметров L и C, а также в рассмотрении энергетических соотношений при резонансе.

Последовательное соединение в цепи синусоидального тока.

Рассмотрим следующую электрическую цепь, через которую протекает ток i:

При прохождении синусоидального тока через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L и C, на выводах этой цепи создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

Напряжение на сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение на индуктивности L опережает, а напряжение на емкости C отстает по фазе от тока i на π/2.

Следовательно, напряжение u на выводах всей цепи равно:

Полученное уравнение представляет собой тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных напряжений. Входящая в него величина называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (X>0) или емкостной (X<0) характер.

В отличие от реактивного сопротивления X активное сопротивление R всегда положительно.

Амплитуда и фаза напряжения на выводах цепи определяются следующими выражениями:

Эти выражения показывают, что амплитуда и действующее напряжение на цепи и ток, проходящий черех данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

,

где величина называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

В общем случае напряжение на выводах цепи и ток, протекающий по цепи, имеют фазовый сдвиг φ.

Если угол φ положителен, то цепь носит индуктивный характер (т.е. реактивное сопротивление цепи X>0); при этом ток отстает по фазе от напряжения.

Если угол φ отрицателен, то цепь носит емкостной характер (т.е. реактивное сопротивление цепи X<0); при этом ток опережает по фазе напряжение.

Ток совпадает по фазе с напряжением при, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений.

Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений.

Резонансная цепь с последовательным соединением R, L и C является простейшей цепью для изучения явления резонанса напряжений.

Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:

Резонанс напряжений наступает при частоте ω₀, когда:

Отсюда получаем резонансную частоту:

В рассматриваемом случае (резонанс напряжений в цепи, состоящей из активного сопротивления R, индуктивности L и емкости C) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении R.

В случае резонансной цепи одной из важных характеристик является добротность цепи:

где называется характеристическим (волновым) сопротивлением резонансного контура.

Относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частоте называется величина:

Если подставить вышеперечисленные величины в выражение для сопротивления контура, то получим:

Следовательно, полное сопротивление цепи

Ток в цепи тогда будет определяться выражением:

Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений; при этом ток в цепи достигает своего максимального значения I₀.

На рисунке изображены резонансные кривые тока в относительных значениях.

По оси абсцисс отложены значения δ, по оси ординат - отношение токов к максимальному току при резонансе:

Чем выше добротность цепи Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величина Q характеризует остроту резонансной кривой.

Резонансные кривые были построены здесь в зависимости от относительной расстройки частоты δ, но можно построить резонансные кривые в зависимости и от частоты ω.

Следует заметить, что максимумы резонансных кривых на рисунке равны, так как по оси ординат отложено отношение I/I₀. Если откладывать ток I, то при разных R максимумы резонансных кривых, естественно не совпадут в одной очке.

Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до от максимального (резонансного) значения I₀, принято называть полосой пропускания резонансного контура.

При токе мощность, расходуемая в сопротивлении R, равна половине мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности.

Величина обратная добротности контура называется затуханием контура.

Параллельное соединение в цепи синусоидального тока.

Рассмотрим следующую электрическую цепь, к выводам которой приложено напряжение u:

Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L и C приложено синусоидальное напряжение, то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа):

ток в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением u, njr в индуктивности L отстает, а ток в емкости C опережает напряжение по фазе на π/2.

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен:

Полученное уравнение представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b>0) или емкостной (b<0) характер. В отличие от реактивной проводимости b величина g=1/R, которая в данном случае называется активной проводимостью, всегда положительна.

Амплитуда и фаза тока могут быть определены как:

где величина называется полной проводимостью рассматриваемой цепи.

В общем случае напряжение на выводах цепи и ток, протекающий по цепи, имеют фазовый сдвиг φ.

Если угол φ положителен, то цепь носит индуктивный характер (т.е. реактивная проводимость цепи b>0); при этом ток отстает по фазе от напряжения.

Если угол φ отрицателен, то цепь носит емкостной характер (т.е. реактивная проводимость цепи b<0); при этом ток опережает по фазе напряжение.

Ток совпадает по фазе с напряжением при, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Параллельный колебательный контур. Резонанс токов.

Явление резонанса токов удобно изучать применительно к электрической цепи с параллельно соединенными R, L и C.

Выражение для комплексной проводимости такой цепи:

По своей структуре это выражение аналогично выражению для комплексного сопротивления последовательного контура.

При этом резонансная частота также определяется выражением

Добротность резонансной цепи в этом случае равна:

По аналогии с комплексным сопротивлением последовательного контура проводимость параллельного контура приводится к выражению:

При резонансе токов полная проводимость цепи минимальна, т.е. входное сопротивление достигает максимума.

Форма резонансных кривых будет аналогичной случаю резонанса сопротивлений.

Дата добавления: 2014-01-05