ЛЕКЦИЯ 5. Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии

Вопросы лекции:

1. Кинетическая энергия точки, системы и твёрдого тела и её вычисление.

2. Работа силы и мощность.

1. Кинетическая энергия точки, системы и твёрдого тела и её вычисление

Пусть материальная точка массы m движется относительно какой-либо системы отсчёта и имеет в данный момент скорость .

Кинетической энергией точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости:

Скорость точки вычисляется в зависимости от того, каким способом задано движение. Поэтому

Ø при векторном способе

Ø при координатном способе (в декартовой системе)

Ø при естественном способе

Из формулы (1) видно, что

и равна нулю только, если (масса точки всегда не равна нулю).

Переходим к механической системе.

Для каждой точки системы считаем кинетическую энергию

и складываем полученные числа:

это и будет кинетической энергией механической системы. По этой же формуле (2) можно считать кинетическую энергию твёрдого тела, но следует учитывать, что скорости точек тела не могут быть независимы друг от друга и должны вычисляться согласно формулам кинематики (скорость полюса + скорость при вращении вокруг полюса). Поэтому равенство (2) следует упростить. Но в случае простейших движений тела оно позволяет найти выражения для кинетической энергии.

Поступательное движение тела:

При поступательном движении скорости всех точек одинаковы в каждый момент времени:

Поэтому из (2) сразу следует

т.е. при поступательном движении кинетическая энергия вычисляется как для материальной точки.

Вращательное движение тела: пусть тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью .

Модуль скорости k -той точки тела, как известно, равен

Тогда из (2) получим

но

это момент инерции тела относительно оси вращения.

Следовательно, при вращательном движении

Однако, уже при плоскопараллельном движении приходится использовать формулу

(вектор, определяющий положение k -той точки тела относительно полюса А), и равенство (2) приводит к сложным выражениям. Поэтому нужно получить формулу, по которой можно более простым способом вычислить кинетическую энергию тела.

Сформулируем и докажем теорему Кёнига:

кинетическая энергия механической системы равна кинетической энергии центра масс в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы, сложенной с кинетической энергией системы в её движении относительно системы координат, движущейся с центром масс поступательно.

Д – во: рассмотрим движение механической системы (или твёрдого тела) относительно неподвижной системы координат Oxyz. Пусть С – центр масс этой системы (или тела). Свяжем с центром масс систему координат , которая движется вместе с центром масс поступательно.

Система координат связана с центром масс, но не с твердым телом: тело относительно этой системы движется. Обозначим через скорость k -той точки тела в этом движении (относительно системы ).

Т.к. тело участвует в сложном движении: движется вместе с центром масс и движется относительно центра масс, то скорость его k -той точки равна

Относительная скорость k -той точки тела – это скорость относительно системы , её ранее обозначили через :

Т.к. система координат движется вместе с центром масс поступательно, то переносной скоростью будет скорость центра масс тела:

С учётом (6) и (7) равенство (5) запишется

Подставим теперь (8) в выражение (2) для кинетической энергии системы (или тела) и получим:

В полученном равенстве рассмотрим каждое слагаемое.

это масса всей системы (или тела);

(это скорость центра масс в системе , а так как в этой системе центр масс неподвижен, то эта скорость равна нулю);

это кинетическая энергия системы в её движении относительно системы координат , движущейся вместе с центром масс поступательно.

Следовательно, получаем

и, тем самым, теорема Кёнига доказана.

Равенство (9) называется формулой Кёнига для вычисления кинетической энергии системы (или тела).

Применим формулу Кёнига для вычисления кинетической энергии при плоскопараллельном движении тела. В случае плоскопараллельного движения движение тела относительно системы это вращательное движение вокруг оси

Поэтому в случае плоского движения в формуле Кёнига второе слагаемое может быть вычислено как при вращательном движении

Тем самым выражение (9) для плоскопараллельного движения тела примет вид

Равенство (10) называют формулой Кёнига для плоскопараллельного движения.

Рассмотрим примеры применения формулы Кёнига для плоскопараллельного движения.

1) Однородный цилиндр массы m и радиуса R катится без скольжения по плоскости. Скорость его центра равна v.

Вычислить кинетическую энергию этого цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Так как цилиндр совершает плоское движение, то применим формулу (10). В данном случае

Т.к. цилиндр катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей – в точке контакта цилиндра с дорогой,

следовательно,

Подставляя полученные выражения в (10), получим

2) Тонкое однородное кольцо (труба) массы m и радиуса R катится без скольжения по дороге. Скорость центра равна v.

Найти кинетическую энергию кольца.

РЕШЕНИЕ. Ничем не отличается от решения примера 1) за исключением вычисления момента инерции

В силу этого из равенства (10) получим

Сравнивая результаты (11) и (12) между собой, видим, что при равных скоростях центров, одинаковых массах и радиусах кинетическая энергия диска составляет лишь 75% от кинетической энергии кольца. Поэтому диск разогнать до заданной скорости легче, чем кольцо. Именно по этой причине у гоночных велосипедов (там, где это возможно) обычные колёса заменяют на дисковые.

2. Работа силы и мощность.

Пусть материальная точка движется под действием силы и за промежуток получает перемещение . Вычислим скалярное произведение .

Скалярное произведение вектора силы на вектор бесконечно малого перемещения точки называется элементарной работой силы

Согласно определению

Учитывая, что

это проекция силы на касательную к траектории, а , получим вместо (14)

Если векторы силы и перемещения заданы аналитически

то элементарная работа (скалярное произведение векторов) может быть вычислена по формуле

Пусть теперь точка по некоторой траектории перемещается из положения в положение под действием некоторой (вообще говоря, переменной) силы .

Траекторию на участке разбиваем на достаточно малые отрезки, на каждом находим перемещения и приближенно, согласно (13), вычисляем элементарную работу

складываем все элементарные работы

а затем переходим к пределу при . Получаем

т.е. криволинейный интеграл по кривой от элементарной работы силы.

Этот криволинейный интеграл

называется работой силы на конечном перемещении (или, – просто работой силы).

При практических расчетах (17) удобнее всего записывать в виде

Рассмотрим примеры применения (17) и (18) для вычисления работ некоторых сил.

1) Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении. Тело движется поступательно и прямолинейно под действием постоянной по модулю и направлению силы и перемещается на расстояние s. Найти работу этой силы.

РЕШЕНИЕ. Выбираем координатную ось Ox в направлении движения тела, а начало координат – в положении . Тогда будем иметь:

В силу этого из (18) получим

2) Работа силы тяжести. Тело из положения перемещается в положение . Вычислить работу силы тяжести тела.

РЕШЕНИЕ. Систему координат выберем так: плоскость Oxy – горизонтально, ось Oz направим вертикально вверх. Начало отсчета О – в произвольном месте. Начальное положение тела определено координатами , а конечное – . В силу этого будем иметь:

Тогда формула (18) даст

Полученный результат может быть записан в виде

Согласно (19), можем получить

Равенству (19) можно придать с учетом (20) универсальный вид, если сообразить, что это высота, на которую поднимается, или опускается, тело

Тогда

Знаки в (21) следует выбирать так:

Ø «+» – если тело опускается вниз;

Ø «–» – если тело поднимается вверх.

Если начальное и конечное положения тела расположены на одной высоте (), то работа силы тяжести равна нулю.

3) Работа силы упругости. Пусть тело прикреплено к пружине жесткости с. Сначала пружину растягивают от недеформированного состояния на величину , а затем ещё раз растягивают так, что деформация становится равной . Вычислить работу силы упругости пружины на этом перемещении.

РЕШЕНИЕ. Пусть длина недеформированной пружины (свободная длина пружины). Координатную ось Ox направим вдоль пружины. Положительное направление – в сторону удлинения пружины, начало отсчета О – в том месте, где пружина не деформирована.

Тогда в положении , а в .

При растяжении пружины на прикреплённое тело начинает действовать сила. Модуль этой силы при небольших деформациях (по сравнению с ) пропорционален деформации, отсчитываемой от недеформированного состояния:

а коэффициент пропорциональности «с» называют жесткостью пружины.

Направлена же сила упругости всегда так, что она стремится вернуть пружину к недеформированному состоянию.

В силу изложенного будем иметь

Тогда из (18) получим

Окончательно, – работа силы упругости равна

В (22) и должны отсчитываться от недеформированного состояния пружины.

Анализируя результат (22), можем заключить.

а) т.к. деформации пружины в (22) входят в квадратах, то результат не зависит от того, растянута, или сжата пружина;

б) , если , т.е. начальная деформация (растяжение, или сжатие) меньше конечной; в частности, если пружину растягивать, или сжимать, из недеформированного состояния, то работа силы упругости всегда отрицательна;

в) при , т.е. если начальная деформация больше конечной; в частности, если пружину из деформированного состояния вернуть к недеформированному, то работа силы упругости всегда положительна;

г) при, т.е. если начальная и конечная деформации равны.

4) Работа пары сил. Пусть некоторое тело вращается вокруг неподвижной оси. На тело действует пара сил с моментом , причем модуль момента пары может быть переменным: . Под действием этой пары тело поворачивается на некоторый угол из положения в положение .

Вычислить работу этой пары сил.

РЕШЕНИЕ. Найдём сначала выражение для элементарной работы момента пары. Для этого пару представим в виде двух параллельных равных по модулю и противоположно направленных сил. Причем, одну из сил пары приложим на оси вращения тела. Задаваясь модулем силы , определим плечо пары

и приложим вторую силу пары (см. рис.).

Тогда, очевидно,

т.к. точка приложения силы неподвижна при вращении тела.

Сообщим телу поворот на бесконечно малый угол .

Получаем

Следовательно, элементарная работа момента пары сил равна

Отсюда, по определению, легко получить

5) Работа внутренних сил системы. Рассмотрим две точки системы. Пусть и их силы взаимодействия:

За промежуток времени точки перемещаются на и соответственно. Тогда

Действительно,

это изменение расстояния между точками системы.

Отсюда следует важный вывод:

внутренние силы совершают работу только тогда, когда изменяются расстояния между точками системы.

Если при движении системы расстояния между любыми двумя её точками не изменяются (как в твёрдом теле!), то работа внутренних сил равна нулю.

В твёрдом теле работа внутренних сил всегда равна нулю.

Мощностью силы называется работа силы за единицу времени:

Подставив сюда выражение (13),получим

Следовательно, мощность может быть рассчитана как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости точки её приложения

Для практических расчётов можно использовать равенства:

Используя равенство (23), можно получить выражение для мощности пары сил (мощности момента):

Дата добавления: 2014-01-05