Момент інерції геометричного тіла

Щоб знайти момент інерції довільного твердого тіла відносно осі обертання, що проходить через його центр ваги, таке тіло уявно ділять на безконечне число матеріальних точок чи частин, з масою кожна, і сумують моменти інерції всіх цих частин, замінюючи суму в формулі для інтегралом:

,

де - модуль радіус-вектора проведеного від осі обертання до елемента .

Для прикладу знайдемо момент інерції однорідного диска радіусом . Виберемо на диску круговий елемент радіусом і товщиною з масою (рис. 8). За означенням

.

Рис. 8

Виразимо елемент маси через густину речовини диска і елемент об’єму:

.

Тоді момент інерції запишемо:

.

Об’єм елемента маси виразимо як об’єм пустотілого циліндра з внутрішнім радіусом , висотою і товщиною стінки :

.

Підставивши такий вираз для у формулу моменту інерції, одержимо:

;

.

Враховуючи, що масу диска можна виразити як добуток об’єму на густину:

,

для моменту інерції диска відносно осі, що проходить через його центр маси одержимо:

.

Подамо без доведення формули моменту інерції відносно осі, що проходить через центр маси для таких геометричних фігур:

стержня - ,

де - довжина стержня;

кулі - ,

тут - радіус кулі.

Дата добавления: 2014-01-05