Гіпотеза та формула Планка

В 1900 році М.Планк висунув гіпотезу, що енергія електромагнітного поля є дискретною і складається з порцій (квантів) енергії . Пізніше було встановлено, що

, (10)

де стала

,

називається перекресленою або просто сталою Планка, або сталою Дірака, який її увів уперше. Повна енергія випромінювання на частоті кратна (10) і дорівнює

. (11)

З цієї точки зору Планк розглянув випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла за наступною схемою.

За розподілом Больцмана ймовірність P(,T) того, що енергія на частоті має n квантів e=ћw можна записати так

, (12)

де

, (13)

а середнє значення енергії <e> на цій частоті можна представити так

. (14)

Уведемо змінну і припустимо, що х може змінюватися неперервно. Тоді

. (15)

Під знаком логарифма знаходиться сума S спадної геометричної прогресії з першим членом а=1 і знаменником . Її значення

. (16)

Тепер

. (17)

Підставивши в (17) значення змінної х, одержимо

. (18)

Густина енергії, що приходиться на інтервал частот від дорівнює

. (19)

За (17) знайдемо

. (20)

Зважаючи на те, що

,

можна записати

.

Використовуючи одержаний зв'язок, випромінювальну здатність АЧТ можна записати через довжину хвилі у виді

. (20)

Одержаний вираз для ¾ називається формулою Планка. Властивості f(w,T) у залежності від температури та частоти можна дослідити з наведеного нижче графіка на Мал.179 для деякої модельної функції

.. (21)

Формула Планка точно узгоджується з експериментом у всьому діапазоні частот . З графіка видно, що при збільшенні температури тіла максимум зміщується в напрямку зростання частоти (х~). Це відповідає закону Віна. При умові маємо і формула Планка (20) переходить у формулу Релея-Джінса (8).

Дата добавления: 2014-01-05