Поняття сил та напружень

Вступ.

Поняття сил та напружень.

Вступ.

1.2. Основні гіпотези та припущення в теорії пружності.

1.4. Диференціальні рівняння рівноваги.

Теорія пружності та пластичності являє собою розділ механіки, який вивчає деформації в твердому тілі, спричинені фізичними впливами, та внутрішні сили, що виникають при цьому, як в стані спокою, так і в стані руху.

Фахівець повинен мати чітке уявлення про особливості деформування тіл під навантаженням різної форми та вміти практично проводити їх розрахунок на міцність та жорсткість. Ці питання вивчаються в таких курсах підготовки студентів напрямку “Будівництво”, як “Опір матеріалів”, ”Будівельна механіка”, ”Теорія пружності та пластичності”. При цьому між згадуваними дисциплінами і теорією пружності та пластичності є істотні відмінності.

В опорі матеріалів головним об’єктом вивчення є стержень. Останнє пояснюється тим, що стержень – найбільш характерний елемент конструкцій (колони, балки, розкоси ферм і т.ін.), в якому розподіл сил пружності за обсягом виявляється досить простим. Останнє справедливо за умови введення в розрахунок певних гіпотез та припущень.

Але серед елементів несучих конструкцій зустрічаються тіла більш складної форми (пластини, оболонки, масивні тіла). В опорі матеріалів розглядаються наближені методи, що ґрунтуються на кінематичних або статичних гіпотезах, застосування яких, при розрахунку таких тіл, як правило, неможливо.

Для згадуваних вказаних тіл, зазвичай, неможливо отримати елементарні формули по визначенню напружень та деформацій. В той же час існують деякі загальні шляхи розв’язку задач, що ґрунтуються на рівняннях, які описують деформацію пружного середовища під навантаженням. Ці рівняння та методи їх вирішення вивчають в курсі теорії пружності та пластичності.

Розглядувана теорія пружності носить назву класичної або лінійної. В її основі лежить уявлення про ідеально пружне тіло. Для такого тіла характерна лінійна залежність між напруженнями та деформаціями.

Теорія пластичності на відміну від теорії пружності розглядає тіла, не підпорядковуються законам теорії пружності або з самого початку їх навантаження, або починаючи з деякої стадії навантаження.

В рамках згадуваних вище теорій застосовують різні розрахункові моделі матеріалів, які відображують специфіку їх деформування під навантаженням.

Появу науки про міцність та механіку пружних тіл пов’язують з іменем Галілея, який ще на початку XVII в. намагався застосувати розрахунки до інженерно-будівельних задач.

Теорією згину тонких пружних стержнів займалися такі видатні вчені, як Маріот, Яков та Іоган Бернулі, Лейбніц, Ейлер, Лагранж та інші.

Поняття механічного напруження та математичний апарат, пов'язаний з описом суцільного деформованого середовища, в теорію пружності ввів Коші. Великий вклад у становлення та розвиток теорії пружності зробив Сен-Венан (1797-1896р).

В наш час з ускладненням форм будівельних конструкцій, розвитком авіобудівництва, різноманітними потребами машинобудування роль методів теорії пружності різко зросла. Вони складають основу для побудови практичних методів розрахунку деформованих тіл різної форми. В сучасних конструкціях поряд з традиційними матеріалами (сталь, деревина, бетон і т. ін.) широко використовують нові матеріали, наприклад - композитні. Так, армування полімерів волокнами дозволяє отримувати легкий високоміцний конструкційний матеріал. Але присутність в ньому полімерної основи робить такий композит не тільки пружнім а і в’язким, що обов’язково потрібно бути враховано в розрахунках. В традиційних матеріалах в зв’язку з підвищенням рівня навантажень та підвищеними температурами виникає потреба врахування пластичних властивостей. Всі ці питання складають предмет механіки деформованого твердого тіла.

1.2. Основні гіпотези та припущення в теорії пружності.

Сучасний стан науки не дає можливості створювати загальні методи розрахунку, які б враховували всі особливості побудови реальних тіл. Тому класична теорія пружності всі свої висновки будує на підставі розгляду певної моделі деформованого твердого тіла. Такою моделлю є ідеально пружне тіло, для якого вважають справедливими наступні припущення:

1. Початковий стан передбачається таким, що при відсутності навантаження в тілі не виникає ніяких напружень. Такий стан тіла називають природнім.

Це припущення виключає з розгляду початкові напруження, характер та величина яких, зазвичай, невідомі і залежать від історії виникнення тіла.

2. Матеріал тіла вважають ідеально пружнім, що передбачає лінійну залежність між навантаженням тіла та його переміщенням. Останнє дозволяє встановити однозначну залежність між напруженнями та деформаціями.

3. Тіло вважають суцільним, тобто неперервне до деформування, воно залишається неперервним і після деформування. Будь-який обсяг тіла, враховуючи мікрообсяги, не має пустот та розривів. Це дозволяє розглядати деформації та переміщення точок тіла як неперервні функції координат. Тим самим не приймається до уваги структура речовини та рух молекул, які утворюють тіло.

4. Тіло вважають однорідним. Це значить, що в усіх точках тіла при одних і тих же напруженнях виникають однакові деформації. Припущення про однорідність дозволяє вважати величини, які характеризують пружні властивості тіла, сталимит за всім обсягом тіла.

5. Тіло вважають ізотропним. Тобто вважають, що пружні властивості тіла однакові за всіма напрямками

Розглянемо основні принципи теорії пружності:

1. Переміщення тіла нескінченно малі у порівнянні з його лінійними розмірами, а відносні подовження та кути зсуву нескінченно малі у порівнянні з одиницею.

2. Принцип незалежності дії сил. Дозволяє розрахувати результат впливу на тіло системи сил шляхом додавання результатів впливу кожної сили окремо.

3. Принцип Сен-Венана (принцип локальності ефекту само врівноваженого навантаження) – в точках твердого тіла, достатньо віддалених від місця прикладання навантаження, напруження мало залежить від характеру розподілення цього навантаження по поверхні тіла. Спираючись на цей принцип рівномірно-розподілене навантаження, можна замінити зосередженою силою.

Задачі теорії пружності мають більш простий розв’язок у порівнянні з аналогічними задачами теорії пластичності. Розв’язок задач з врахуванням пластичних властивостей матеріалу в значній мірі спирається на розв’язок аналогічних задач теорії пластичності.

Все зовнішнє навантаження, яке впливає на тверде тіло, поділяють на дві групи: поверхневе та об’ємне.

Поверхневі сили виникають в результаті контакту тіл і розподілені по поверхні тіла (сила тиску води на греблю, сила тиску фундаменту на основу і т. ін.).

Поверхневі сили характеризуються інтенсивністю, тобто величиною сили, яка приходиться на одиницю поверхні, за якою ця сила розподілена. Якщо розміри площі, на яку впливає сила, малі у порівнянні з розмірами тіла, то такою площею можна знехтувати і вважати, що така сила прикладена в точці. Таку силу вважають зосередженою.

Об’ємні сили діють в кожній точці тіла (власна вага тіла, сили інерції).

Розглянемо тіло довільного обрису з накладеними на нього опорними в’язями та на яке впливають поверхневі і об’ємні сили (рис. 1.1). Застосуємо до нього метод перерізів. Подумки розсічемо тіло на дві частини I і II, та відкинемо частину II. Положення площини перерізу у просторі визначається напрямком нормалі ν. Як відомо, з курсу “Опір матеріалів”, дію відкинутої частини замінюють головним вектором сили R та головним вектором моменту M, що діють в центрі ваги перерізу. Останні представляють собою рівнодійні елементарних сил ∆Р за всіма нескінченно малими площами ∆А, на які можна розбити переріз, що розглядається. Інтенсивність внутрішніх сил називають напруженням. При цьому співвідношення ∆Р / ∆А буде середнім напруженням за площею ∆А, а при переході до межі при ∆А, прямує до нуля, отримаємо повне напруження в даній точці розглядуваного перерізу на площадці з нормаллю ν:

(1.1).

Повне напруження P_ν в загальному випадку не співпадає з напрямком нормалі ν (рис. 1.1). Тому крім величини повного напруження потрібно знати його напрямок у просторі. Для цього потрібно повне напруження розкласти за напрямком осей ортогональної системи координат XYZ. Проекціями повного напруження на координатні вісі є X_ν, Y_ν, Z_ν. Позначення X_ν читають наступним чином: проекція на вісь х повного напруження на площадці з зовнішньою нормаллю ν. Складові повного напруження показані на рис. 1.1.

В перерізах, паралельних координатним площинам, індекс ν замінюють індексом координатної осі, нормальної до перерізу (рис. 1.2). Складову Z_z (σ_z) спрямовану вздовж перерізу називають нормальним напруженням. Індекс z позначає нормаль до перерізу.

Складові Y_z (τ_yz), X_z, (τ_xz)що лежать в площині перерізу, називають дотичними напруженнями. Перший індекс позначає напрямок дотичного напруження, а другий індекс – нормаль до перерізу.

Якщо вирізати з розглядуваного тіла елементарний паралелепіпед, ребра якого будуть паралельні координатним осям, то з дев’яти складових напружень на його гранях, три складові будуть нормальними напруженнями: Z_z = σ_z, Y_y = σ_y, X _x = σ _x, а шість складових – дотичними:

Y_z = τ_yz; X_z = τ _{x z}; Z _x = τ_{z x} ; Y _x = τ_{y x} ; X_y = τ_xy; Z_y = τ_zy.

Надалі будемо використовувати другу систему позначень напружень.

Для напружень прийнято наступне правило знаків:

- нормальне напруження вважають додатнім якщо воно викликає розтягання матеріалу тіла (при цьому його напрямок співпадає з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій воно діє);

- дотичне напруження вважають додатнім, якщо на площадці, нормаль до якої співпадає з напрямком паралельної до неї координатної вісі, воно спрямоване в сторону додатного напрямку координатної вісі, яка відповідає цьому напруженню (якщо зовнішня нормаль співпадає з від’ємним напрямком паралельної до неї координатної вісі, то додатне дотичне напруження спрямоване в сторону від’ємного напрямку координатної вісі, яка йому відповідає).

На рис. 1.2 показано додатні, а на рис. 1.3 – від’ємні напрямки напружень.

В загальному випадкунапруження, що виникають в твердому тілі будуть різними в різних точках тіла, тобто будуть функціями координат точок:

σ_x = σ_x (x, y, z);

σ_y = σ_y (x, y, z);

σ_z = σ_z (x, y, z);

τ_xy = τ_xy (x, y, z);

………………..

1.4. Диференціальні рівняння рівноваги.

Розглянемо тіло довільного обрису з накладеними на нього опорними в’язями та на яке впливає зовнішнє навантаження. З його об’єму виділимо нескінченно малий об’єм тіла у вигляді паралелепіпеду з гранями, паралельними координатним площинам і ребрами довжиною dx, dy, dz (рис. 1.4). На кожній грані паралелепіпеду будуть діяти три складові повного напруження, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях будуть діяти 18 складових напружень.

В точці, яка знаходиться на нескінченно малій відстані від точки що розглядається, будь-яке напруження (нехай σ_x) з достатньою ступеню точності можна розкласти в ряд Тейлора:

(1.2)

На площадках, паралельних площині y O z, змінюється тільки координата х, а приріст dy = dz = 0. Тому на грані паралелепіпеду, що співпадає з координатною площиною y O z, нормальне напруження позначено σ_x, а на паралельній грані, де відбувся приріст напруження, напруження набуло значення . Величину останнього отримано на підставі виразу (1.2). з врахуванням того, що dy = dz = 0. Таким же чином пов’язані між собою напруження і на інших паралельних гранях паралелепіпеду. Отже, з 18 складових напружень невідомими залишаються тільки дев’ять: σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_zy, τ_zx, τ_yx, τ_yz, τ_хz.

Крім напружень на паралелепіпед діють об’ємні сили. Позначимо проекції об’ємних сил на координатні осі, які віднесені до одиниці об’єму тіла, через X, Y, Z. Тоді складові об’ємних сил, які діють в об’ємі паралелепіпеду будуть дорівнювати:

Оскільки розглядуваний паралелепіпед повинен знаходитися в рівновазі, застосуємо до нього рівняння рівноваги статики, а саме - сума проекцій на вісь х дорівнює нулю. Під час складання рівняння помножимо кожне напруження на площу грані, за якою воно діє, та перейдемо таким чином від напружень до сил, при цьому отримаємо:

Розкриємо дужки, приведемо подібні та поділимо складові останнього рівняння на об’єм паралелепіпеду dV = d x d y d z:

Аналогічно можна скласти рівняння проекцій на осі y та z. Таким чином, отримаємо три диференціальних рівняння рівноваги:

(1.3)

Складемо інше рівняння рівноваги статики. Візьмемо суму моментів відносно осі z:

В останньому рівнянні відкриємо дужки, приведемо подібні, поділимо кожен член рівняння на dV та відкинемо величини більшого порядку малості порівняно з іншими. Після згадуваних перетворень отримаємо:

(1.4)

При складанні рівняння моментів відносно осей x та y, отримаємо ще два аналогічних співвідношення, тобто загальна кількість співвідношень буде дорівнювати трьом, а саме:

(1.5)

Останні три рівняння представляють собою закон парності дотичних напружень, який гласить: за двома взаємно перпендикулярними площадками складові дотичних напружень, перпендикулярні лінії перетину цих площадок, рівні між собою.

Внаслідок парності дотичних напружень замість дев’яти невідомих складових напружень, які характеризують напружений стан точці тіла, залишається тільки шість:

(1.6)

Для визначення шести невідомих функцій (1.6) є лише три диференціальних рівняння рівноваги (1.3). Відповідно, рівнянь статики недостатньо і задача теорії пружності з визначення напружень в нескінченно малому об’ємі є статично невизначуваною. Рівняння, яких не вистачає можна отримати, розглянувши фізичний та геометричний аспекти задачі.

Дата добавления: 2014-01-05