Историческая справка. Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, — 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик

Задача Эйлера

Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, — 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720—24 в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.

В кон. 1726 Э. был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 приехал в Петербург. В только что организованной академии Э. нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Э. подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.

Э. участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное "Руководство к арифметике" (нем. изд. 1738—40, рус. пер. ч. 1—2, 1740). По специальному поручению академии Э. подготовил к печати "Морскую науку" (ч. 1—2, 1749)— фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.

В 1741 Э. принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация АН. В Берлинской АН Э. занял пост директора класса математики и член правления, а после смерти её первого президента П. Л. Мопертюи несколько лет (с 1759) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.

В "Механике" Э. впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа. В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; во 2-м — движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центр. сил. В 1744 он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В "Теории движения твёрдого тела" Э. разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Э. внёс ценный вклад в теорию устойчивости. Значительны открытия Э. в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Э. и в т. н. переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.). В оптике Э. дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчёта показателя преломления среды. Э. придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Э. предложил способы устранения хроматических аберрации линз и в 3-й части "Диоптрики" дал методы расчёта оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Э. посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, спец. функций, дифференциальной геометрии и т.д. Многие математические открытия Э. содержатся именно в этих работах.

Рассмотрим стержень из идеально упругого материала, нагруженный центрально приложенной сжимающей силой F. Определим критическое значение силы F, вызывающей прогиб стержня.

Будем считать кривизну положительной для вогнутой кривой и отрицательной для выпуклой кривой. Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня в рассматриваемом случае следует записать в виде

.

Внутренний изгибающий момент в произвольном сечении с координатой z равен

,

тогда

, или .

Введем обозначение:

,

и получим однородное линейное дифференциальное уравнение

,

решение которого имеет вид:

,

где C и D – постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования C и D рассмотрим граничные условия:

§ При z = 0 прогиб y = 0. Это возможно, если D = 0, т.е. упругая линия есть синусоида .

§ При z = l прогиб y = 0, поэтому C sin kl = 0. Решение C = 0 соответствует прямолинейной форме стержня и не представляет интереса. Рассмотрим решение sin kl =0. Корни этого уравнения kl = np, где n =1,2,3…, то есть

,

откуда

, .

Таким образом, критическая сила, вызывающая потерю устойчивости прямолинейной формы стержня, равна

.

Из полученной формулы следует, что существует бесконечное множество значений F _кр, каждой из которых соответствует своя форма изогнутой оси стержня

,

где n – число полуволн синусоиды.

Практический интерес представляет наименьшее значение критической силы, которое получим для n = 1 и минимального момента инерции поперечного сечения:

- формула Эйлера.

Дата добавления: 2014-01-05