Приклад

Розглянемо тепер лінії другого порядку, які на площині в загальному випадку можна записати так:

а ₁₁ х ² + 2 а ₁₂ ху + а ₂₂ у ² + 2 а ₁₃ х + 2 а ₂₃ у + а ₃₃ = 0. (5.1)

Рівняння (2.19) описує всі криві другого порядку в загальному випадку. Спинимось спочатку на простіших, так званих канонічних рівняннях ліній другого порядку.

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що дорівнює 2 а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

Рис. 5.1

На рис. 2.16 зображено F ₁ (– c, 0),
F ₂ (c, 0) — фокуси еліпса, М (х, у) — точка множини, яка задовольняє означення, тобто причому 2 с < < 2 a Þ a > c.

Тоді

(5.2)

канонічне рівняння еліпса, де b ² = а ² – с ².

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять в рівняння (5.2). Якщо х = 0, у = ± b, тобто точки (0, b) і (0, – b) є точками перетину еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса. При у =0, х =± а і відповідно (а,0); (– а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а — велика піввісь еліпса. З парності виразу (5.2) за х і за у випливає симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу. На рис. 5.1 зображено еліпс.

Ексцентриситет еліпса — це відношення ; за означенням с < a і eÎ[0, 1). Оскільки то . З останньої рівності випливає геометричний зміст ексцентриситету, який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягнутості еліпса. Так, при маємо коло, якщо e наближається до одиниці, то відношення довжини півосей еліпса стає малим, тобто еліпс витягується вздовж осі Ох.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2 а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Скористаємось рис. 2.17, з якого бачимо, що точки F ₁ (– c, 0) і F ₂ (c, 0) — фокуси гіперболи, точка М (х, у) — точка визначеної множини. Тоді .

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, де b ² = c ² – a ².

Рис. 5.2

Дослідимо здобуте рівняння. Гіпер­бола не перетинає вісь Оу. При у = 0;
х =± а і точки (– а,0); (а,0) — точки перетину з віссю Ох. Розглянемо ще рівняння прямих , які далі називатимемо асимптотами гіперболи. Враховуючи симетрію відносно осей Ох і Оу, будуємо графік гіперболи, який зображено на рис. 5.2.

Відрізки завдовжки b і а називають відповідно уявною і дійсною осями гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи , але с > a і e >1. Беручи до уваги, що с ² = а ² + b ², дістаємо: , або .

З останньої рівності випливає, що для гіперболи ексцентриситет характеризує ступінь нахилу віток гіперболи до осі Ох.

Дві прямі, рівняння яких , називаються директрисами еліпса і гіперболи. Для еліпса і відношення , директриси еліпса — це дві прямі, що розміщені симетрично відносно осі Оу і проходять зовні еліпса. Для гіперболи e > 1 і відношення . Тобто директриси гіперболи розміщені симетрично відносно осі Оу і лежать між вітками гіперболи.

Для еліпса і гіперболи можна сформулювати важливе твердження: якщо r — відстань від деякої точки еліпса або гіперболи до будь-якого фокуса, а d — відстань від цієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення стале й дорівнює ексцентриситету, тобто .

Розглянуте твердження можна покласти в основу означення цих ліній.

Означення. Множина точок, для яких відношення відстаней від фокуса і до відповідної директриси — величина стала, що дорівнює ексцентриситету e, є еліпс, якщо e < 1, і гіпербола,
якщо e > 1.

Рис. 5.3

Парабола. Означення. Множина то­чок площини, що містяться на однаковій відстані від даної точки фокуса і даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою, є парабола.

За означенням r = d, отже (див. рис. 5.3):

або у ² = 2 рх

— канонічне рівняння параболи, коли e = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат. Її графік подано на рис. 5.3.

Рис. 5.4

Коло. До кривих другого порядку належить і добре відома лінія, яка називається колом (рис. 5.4).

Означення. Множина точок, що містяться на однаковій відстані від
заданої точки — центра, називається колом. За означенням ОМ = R або .

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо:

(х – а)² + (у – b)² = R ² (5.4)

— канонічне рівняння кола. Тут (а, b) — координати центра кола, R — його радіус. Розкривши дужки в лівій частині (5.4), дістанемо, очевидно, рівняння другого степеня, тобто коло — також крива другого порядку.

Тема 6. Границя числової послідовності

1. Поняття числової послідовності та її границі

Означення. Числова функція , область визначення якої є множина натурального ряду чисел, називається числовою послідовністю, або просто послідовністю, і позначається , надалі писатимемо

Значення називаються чле­нами послідовності. Послідовність вважається заданою, якщо задано n -й член послідовності.

Приклад. Записати три перші члени послідовності . Маємо

Приклад. За заданими трьома першими членами послідовності знайти формулу n -го члена.

Задача розв’язується методом добору з наступною перевіркою .

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів виконується нерівність .

Позначення або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори: " — для будь-якого, будь-який; $ — існує, знайдеться;
: = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо e-окіл числа а, тобто інтервал (а – e; а + e), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при (рис. 3.12).

Означення. Число а називається границею послідовності x_n, якщо для будь-якого e-околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в e-околі точки а (див. рис. 6.1).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Приклад. Довести за означенням, що .

Зауважимо, що n -й член послідовності ; сама послідовність така: . Для доведення потрібно за заданим знайти номер послідовності N, такий, що при всіх номерах виконуватиметься нерівність . Розв’яжемо останню нерівність відносно n:

Виберемо* . Тоді при нерівність виконується, а отже, виконується і нерівність , чим доведено, що Отже, для доведення за означенням певної границі послідовності досить побудувати функціональну залежність N від числа e, тобто знайти функцію N (e). У розглянутому прикладі функ­ція , і за заданим будь-яким завжди можна знайти відповідний номер N; наприклад при , при нерівність виконується.

2. Загальні властивості збіжних послідовностей.

3. Похідні від основних елементарних функцій.

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію u (x):

.

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти з рівняння .

l Оскільки у є функцією від х, то у ² розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та .

Теорема 7. Похідна оберненої функції по змінній у дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

l Задана функція обернена до функції . Згідно з теоремою 7 можна записати

.

Звідси .

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

.

3. Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

l Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему 2:

.

У здобутому виразі перший доданок алгебраїчної суми є добуток сталої величини на степеневу функцію Þ — застосуємо до нього теорему 4 і формулу (2) таблиці похідних; другий — ірраціональна функція з показником — застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій — логарифмічна функція з основою е Þ — використаємо формулу (5):

.

Приклад. .

l Задана функція складна: зовнішня — показникова функція з основою 6, внутрішня для неї — обернена тригонометрична. Обернена тригонометрична, у свою чергу, є складною, для якої внутрішня функція — алгебраїчна сума . Для суми аргументом (скінченним) є х.

Таким чином, задана функція є суперпозицією трьох функцій.

При диференціюванні послідовно застосовуємо два рази теорему 6:

У цьому виразі знизу біля кожної квадратної дужки вказано аргумент, за яким слід диференціювати функцію, взяту в дужки.

Тепер послідовно скористаємося формулами (4), (11), (2) таблиці похідних та теоремами 1, 2. Дістанемо:

.

Взагалі використані правила та формули не фіксують, а записують кінцевий результат їх застосування.

Приклад. .

l Задана функція є степенево-показниковим виразом виду

, де . (7.5)

Прологарифмуємо функцію (4.5) за основою е:

. (7.6)

Оскільки і — складні функції, після диференціювання обох частин рівності (4.6) дістанемо:

.

Звідси .

Таким чином, дістали формулу для знаходження похідної від степенево-показникової функції виду (4.5).

. (7.7)

У даному випадку формула (4.7) виглядає як

.

4. Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож­ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід­ною третього порядку і означається , .

Похідна від похідної (n – 1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад. Знайти похідну третього порядку для функції .

l .

Тема 8. Невизначений інтеграл

1. Поняття первісної.

2. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл.

3. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.

4. Поняття визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла.

5. Формула Ньютона—Лейбніца. Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат.

1. Поняття первісної

Означення. Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку або .

Із означення виходить, що первісна F (x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Приклад. Первісні для функції мають вигляд:

, бо ;

бо ;

, бо ,

 

Рис. 8.1

причому F ₁(x), F ₂(x) — неперервні , а F ₃(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 7.1). У цьому прикладі пер­вісні F_і (x) і = 1, 2, 3, знайдені методом добору із наступною перевіркою, з використанням таблиці похід­них функцій.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F (x) — первісна для функції f (x) на проміжку І, то

1) F (x) + С — також первісна для f (x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф (х) для f (x) може бути подана у вигляді Ф (х) = F (x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину (рис. 8.1).

2. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

Означення. Операція знаходження первісних для функції f (x) називається інтегруванням f (x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція не має первісних на цьому проміжку.

Для розв’язування задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F (x), тоді (за теоремою про множину первісних) F (x) + С — загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F (x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f (x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f (x) на проміжку І і позначається

, , (8.1)

де — знак невизначеного інтеграла;

f (x) — підінтегральна функція;

f (x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Рис. 8.2

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що функція є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат (рис. 8.2).

Теорема 2 (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f (x) на певному проміжку достатньо, щоб f (x) була неперервною на цьому проміжку.

Зауваження. Виявляється, є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

, , ,

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «неінтегровними».

3. Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (8.1).

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

(8.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

(8.3)

4. Таблиця основних інтегралів

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. .

5. Поняття визначеного інтеграла

Нехай — деяка функція, що задана на проміжку [ a; b ]. Розіб’ємо [ a; b ] на n частин точками так що

Обчислимо де

Складемо інтегральну суму .

Позначимо .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при і не залежить ні від способу розбиття [ a; b ] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на проміжку [ a; b ] і позначається:

, (8.4)

Де — знак визначеного інтеграла;

а, b — нижня та верхня межі інтегрування;

f (x) — підінтегральна функція;

f (x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

За означенням, визначений інтеграл — число, яке залежить від типу функції та проміжку [ a; b ]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування:

Означення. Функція, для якої на [ a; b ] існує визначений інтеграл називається інтегровною на цьому проміжку.

Далі буде показано, що неперервні функції — інтегровні.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Якщо , то дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 8.4).

6. Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо та інтегровні на [ a; b ], то

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [ a; b ], [ a; c ], [ с; b ], то

VII. Якщо і інтегровна для то

VIII. Якщо , — інтегровні та для то

IX. Якщо f (x) — інтегровна та для то

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

Якщо функція — неперервна для то знайдеться така точка що:

(8.5)

Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [ a; b ] (рис. 7.6).

Рис. 8.3

1. Формула Ньютона—Лейбніца.

Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.

(рис. 8.4)

Рис. 8.4

Теорема 8. Якщо функція f (x) неперервна для будь-якого то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто

(8.6)

Наслідки:

1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції є одна із первісних для .

2. Будь-яка неперервна функція на проміжку має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто

Приклад. Знайти .

l Функція — неперервна на проміжку тому

Теорема 9. (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де (8.7)

Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

(8.8)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.

Приклад.

7. Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат.

Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.

І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 8.5). Функція — неперервна та Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .

Якщо при виконанні всіх інших умов (рис. 8.6),

(8.9)

Рис. 8.5	Рис. 8.6	Рис. 8.7

ІІ. Фігура обмежена лініями (рис. 8.7). Функція — неперервна та Площа S такої фігури буде

(8.10)

 

1. Основні поняття.

2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості

3. Мінори та алгебраїчні доповнення.

4. Обчислення визначників

5. Правило Крамера.

1. Основні поняття

Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:

(1.1)

Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з невідомими (змінними), де x ₁, x ₂,..., x_n — невідомі; a_ij