Упражнения для самостоятельной работы

Взаимное расположение двух плоскостей

, ,

Расположение плоскостей	Условия	Рисунок
	или линейно независимы
s 1 || s 2, s 1 ¹ s 2	и линейно зависимы; линейно независимы
s 1 =s 2	, . линейно зависимы

Литература [1], № 219, № 221, № 222.

221 (а). Векторы образуют базис. Точки A, B, C, M, N, P, Q связаны отношениями , , , , . Определите расположение плоскостей (QMA) и (BCN).

Решение. Отложим векторы от точки Q и для наглядного представления изобразим на плоскость () (рис. 4.18).

Плоскости зададим начальной точкой и базисными векторами:

, где , ,

, где ,

.

Проверим линейную зависимость векторов и .

1) Пусть , т.е. , откуда . Так как векторы образуют базис, то они линейно независимы, равенство возможно при условии:

или . Система имеет ненулевые решения, например, a ₁=1, b ₁=0, g ₁=–1. Значит, векторы линейно зависимы.

2) Пусть , т.е. , откуда . Так как векторы образуют базис, то они линейно независимы, равенство возможно при условии:

, , . Ненулевые решения: a ₂=1, b ₂=–1, g ₂=–1. Значит, векторы линейно зависимы.

Так как тройки векторов и линейно зависимы, то плоскости (QMA) и (BCN) параллельны. Выясним, будут ли плоскости различны? Исследуем зависимость векторов , где .

3) Пусть , т.е. , откуда . Так как векторы образуют базис, то они линейно независимы, равенство возможно при условии:

или . Откуда a ₃=0, b ₃=0, g ₃=0. Значит, векторы линейно независимы.

Следовательно, плоскости (QMA) и (BCN) параллельны и различны (не совпадают).

Дата добавления: 2014-01-05