Лекция 16.11.2012

Метод минимального риска

Методы статистических решений для одного диагностического параметра

Пусть производится диагностика состояния какого-либо объекта по параметру x. Задача состоит в выборе x0 таким образом, что при x>x0 следует принимать решение о снятии двигателя с эксплуатации, а при x<x0 допускать дальнейшую работу. D1 – исправен; D2 – дефект.

При x<x0 K D1

При x>x0 K D2

Области исправного и дефектного состояния D1 и D2 пересекаются, поэтому невозможно выбрать значения x0 при котором решающее правило не давало бы ошибочных решений. Задача состоит в том, чтобы x0 был в каком то роде оптимальным, например давал бы минимальное число ошибочных решений.

Введём понятия:

1) «ложная тревога»: случай, когда применяется решение о наличии дефекта, но в действительности система находится в исправном состоянии (вместо D1 принимается D2).

2) «пропуск цели» (дефекта) – принятие решения об исправном состоянии, тогда как система содержит дефект (вместо D2 принимается D1)

Введём обозначение, где первый индекс – номер принятого значения, второй индекс – действительное состояние.

Тогда H12 – пропуск дефекта, H21 – ложная тревога.

H11 и H22 – это правильные решения.

Рассмотрим вероятность P(H21).

Вероятность ложной тревоги равна вероятности произведения двух событий: «наличие исправного состояния» и «x>x0»

Вероятность того, что событие D1 умножить на то, что мы приняли, что сейчас событие D2:

P(H21)=P(D1)*P(x>x0/D1)

Т.е. вер того что x>x0 при D1 это правая половинка заштрихованной площади.

Средний риск – вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риска

Обычно принимается С12>>С21, т.к. стоимость пропуска дефекта существенно больше стоимости ложной тревоги.

Ингода вводится цена правильных решений H11 и H22, тогда

(*)

С11 и С22 принимаются отрицательными.

Найдём граничное значение x0 из условия минимума среднего риска.

Дифференцируя уравнение среднего риска (*) по х0 и приравнивая производную к 0 получим условие экстремума

dR/dx0=C11P1 f(x0/D1)-C21P1f(x0/D1)+ C12P2f(x0/D2)-C22P2f(x0/D2)=0

или

f(x0/D1)/f(x0/D2)=(C12-C22)P2/((C21-C1)P1)

Для существования минимума R в точке x=x0 вторая производная должна быть.

Это даёт нам следующее:

f'(x0/D1)/f'(x0/D2)<(С12-С22)P2/((C21-C11)P1

Величина

представляет собой пороговое значение для отношения правдоподобия. В большинстве практических задач условные выигрыши для правильных решений не вводятся. Тогда будет равно

=P2 C12 / (P1 C21)

Старое правило решения

При x<x0 K D1

При x>x0 K D2

в данном случае выражается в форме отношения правдоподобия и для принятия решения даже не требуется определение критического параметра x0. Это справедливо при достаточно плавных одногорбых распределениях.

Перепишем по-другому функцию риска R

Учитывая

получим

Найдём минимум

или

Правило решения остаётся прежним и остаются в силе услвия 1 и 2.

Надёжность и отказоустойчивость

Под надёжностью и безопасностью систем управления понимается её защищённость от случайных или преднамеренных вмешательств в нормальный процесс её функционирования. К таким вмешательствам можно отнести:

1) Отказы и сбои в электрических схемах

2) Ошибки в программировании

3) Аварийные ситуации

НТС определяется свойствами:

1) Безотказность

2) Работоспособность

3) Долговечность

4) Сохраняемость

5) Ремонтопригодность

Работоспособность – состояние системы, при котором оно нормально выполняет заданные функции в соответствии с технической документацией.

Ремонтопригодность – приспособленность системы к предупреждению, обнаружению и ликвидации отказов.

Отказ – событие, заключающееся в полной или частичной потере работоспособности.

Классификация отказов:

1. По характеру изменения параметра до момента возникновения отказа

2. По связи с другими отказами

a. Независимый отказ

b. Зависимый отказ

3. По возможности последующего использования

a. Полный отказ

b. Частичный отказ

4. По характеру устранения отказа

a. Устойчивый отказ

b. Самоустраняющийся отказ

5. По наличию внешнего проявления

a. Очевидный (явный) отказ

b. Неочевидный (неявный) отказ

Дата добавления: 2014-01-05