Лекция 5 Математические понятия в начальной школе

1. Математическое развитие младших школьников.

2. Общая характеристика «понятия», объём и содержание понятия.

3. Классификация математических понятий.

4. Способы раскрытия содержания понятий в начальном курсе математики.

1. Рассмотрим различные подходы к определению понятия «математическое развитие» ребенка. В основном имеют место две трактовки этого понятия.

В первом случае «математическое развитие» ассоциируется с понятием «математические способности», которые имеют природный характер. В этом случае успешность ребенка в освоении математического содержания связывается педагогами с наличием этих природных способностей и отрицанием возможности методически влиять на них.

Во втором случае под «математическим развитием» понимают формирование и накопление математических знаний и умений у ребенка. Предполагается, что развитие умственных способностей при этом достигается косвенным путем: в процессе усвоения знаний.

Однако в данных трактовках понятия не отмечено влияние содержания обучения на развитие, как математического мышления, так и общего развития мышления ребенка.

Под математическим развитием ребенка младшего школьного возраста будем понимать целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных (базовых) свойств и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.

Целенаправленная работа по организации математического развития ребенка младшего школьного возраста будет способствовать общему повышению уровня развития интеллектуальных (умственных) способностей каждого ребенка, а также эта работа будет способствовать личностному развитию ребенка.

2. В понятиях фиксируются знания об окружающем мире. Каждое понятие обозначается термином.

Понятие является одной из форм абстрактного мышления, в которой отражаются существенные признаки одноэлементного класса или класса однородных предметов.

* Существенные признаки – это признаки, без которых объект не может существовать (четное число – делится на 2, в треугольнике – стороны, углы).

* Несущественные – плотность, размер. В каждом понятии выделяют содержание и объем.

* Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков одноэлементного класса или класса однородных предметов, отраженных в понятии. Содержанием понятия «квадрат» является совокупность двух существенных признаков: «быть прямоугольником» и «иметь равные стороны».

* Объем понятия – это совокупность всех предметов, обладающих данными существенными признаками.

Понятие «квадрат» - объем: множество всевозможных квадратов, какие можно изобразить, представить.

Понятие «Нечетное число»:

Содержание – «не делится на 2»;

Объем – «множество нечетных чисел».

3. Понятия классифицируют по различным признакам.

По объему понятия делятся на единичные, общие и пустые.

Объем единичного понятия составляет одноэлементный класс. Например, «0», «1000».

Объем общего понятия включает число элементов больше единицы. Среди общих понятий можно выделить те, объем которых включает конечное множество предметов (например, «однозначное натуральное число») и те, объем которых включает бесконечное множество предметов (например, «квадрат»).

Кроме общих и единичных понятий по объему выделяют понятия пустые (с нулевым объемом), т.е. такие, объем которых представляет пустое множество (например, «вечный двигатель», «баба Яга», «круглый квадрат», «человек, проживший 300 лет» и др.).

По содержанию различают понятия сравнимые и несравнимые.

Сравнимые понятия имеют некоторые общие признаки (квадрат и прямоугольник).

Несравнимые понятия не имеют общих признаков (четное число и треугольник; число «2» и окружность).

Сравнимые понятия делятся на совместимые и несовместимые.

Совместимые – это такие понятия, объемы которых имеют хотя бы один общий элемент.

Несовместимые – это такие понятия, объемы которых не имеют ни одного общего элемента (например, четные и нечетные числа).

Объемы совместимых понятий могут находиться в трех видах отношений:

а) отношение тождества – объемы совпадают.

Например, «биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника» и «высота равнобедренного треугольника».

б) отношение пересечения

А – «четные числа»

В – «числа больше 50»

в) отношение включения

А - «натуральные числа» В<А В – «натуральные числа, оканчивающиеся нулем»

Несовместимые понятия также могут находиться в трех видах отношений:

а) отношение соподчинения – понятия имеют общий род

А – многоугольники

В – треугольники А

С – четырехугольники

Д – пятиугольники

б) отношение противоречивости – признаки двух понятий противоречивы

А – четное число АА

В – нечетное число

или

А – уравнение

В – неравенство

в) отношение противоположности

А – острый угол

В – тупой угол прямой угол

4. Термин – слово или словосочетание, обозначающее строго определенное понятие в какой-либо области знания.

Определение (дефиниция) – логическая операция, которая раскрывает содержание понятия и включает в себя описание совокупности существенных признаков предметов, отображаемых данным понятием. В определении (дефиниции) понятия (ОП) есть две части: термин (Т) – наименование понятия и определяющее его выражение (ОВ), которое описывает суть понятия, его свойства.

Методы, дополняющие определения: указание, описание, характеристика, сравнение, различение и другие, к которым прибегают, когда поиск существенных признаков или невозможен, или затруднен, или в нем вообще нет необходимости.

Общепризнанные требования к определению, которые определил еще Аристотель, выглядят следующим образом: 1) соразмерность (термин и дефиниция должны совпадать по объему и быть взаимозаменяемы); 2) ясность и однозначность (определение не может быть двусмысленным и не должно содержать непонятных или неопределенных терминов); 3) нетавтологичность (запрет порочного круга); 4) не должно содержать в себе отрицания.

Способы раскрытия содержания понятий в начальном курсе математики:

1. Определение понятия можно представить через «род» и «видовое отличие». Например, «квадрат (определяемое понятие) – это прямоугольник (родовое понятие), у которого все стороны равны (видовое отличие)»

Этот способ определения широко используется в математике. Определения, полученные этим способом, называются вербальными. В них одно понятие определяется через другое, введенное ранее. В качестве родового понятия берется ближайший род.

2. Содержание понятия раскрывается путем указания ближайшего рода и способа получения предметов, входящих в объем определяемого понятия (вместо видового отличия). Такие определения называются конструктивными (генетическими). Например, «четное число – это число, которое делится на два». «Число» - ближайшее родовое понятие, «делится на два» - способ проверки соответствующего свойства. Или: «треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой,...» (указан способ построения).

3. В начальных классах для раскрытия содержания вводимых понятий широко используется прием показа конкретных предметов, входящих в объемы этих понятий. Например, запись «17 + 3» называется «математическим выражением». Такие определения называются остенсивными.

4. Иногда содержание понятия раскрывается путем перечисления множества объектов, входящих в объем понятия. Например, «единицы, десятки, сотни составляют класс единиц».

Дата добавления: 2014-01-05