Системи числення з ірраціональними основами

У спеціалізованих обчислювальних засобах знаходять застосування двійково-кодовані системи числення з ірраціональними основами, до яких відносять так звані р- коди Фібоначчі і коди “золотої” р -пропорції. При цьому р -кодом Фібоначчі називають представлення числа у вигляді

,

де – двійкова цифра в і -му розряді, - вага -го розряду, визначена як

Таким чином, вага залежить як від його позиції в записі числа, так і від параметра р.

Якщо р=0, то р- код Фібоначчі збігається з представленням числа в двійковій канонічній системі числення

У випадку р=1 код Фібоначчі відповідає системі числення зі штучним порядком ваг, а саме: 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,... У цій послідовності будь-яка вага дорівнює сумі двох попередніх ваг.

Якщо р=2, то послідовність ваг р- коду Фібоначчі має вигляд 1,1,1,2,3,4,6, 9,13,19,28,....

При подібна послідовність складається з р одиниць, після яких слідує натуральний ряд чисел. Як і в інших системах зі штучним порядком ваг, представлення чисел р -кодами Фібоначчі не є однозначним. До числа основних достоїнств кодів Фібоначчі слід віднести і підвищення швидкодії при виконанні деяких типів операцій і зручність організації контролю правильності їхнього виконання.

Кодом “золотої” р -пропорції називають представлення числа у вигляді

де – двійкова цифра в -му розряді, - вага -го розряду, причому

.

Наведене представлення задає нескінченне число способів нумерації дійсних чисел, тому що кожному тут відповідає свій спосіб нумерації. Ваги розрядів у такому представленні зв'язані з вагами розрядів у -кодах Фібоначчі наступним співвідношенням

.

Звідси при р=0 випливає , тобто, код “золотий’ -пропорції відповідає в цьому випадку двійковій позиційній однорідній системі числення. При р>0 значення є ірраціональним числом. Зокрема для р= 1

Це число було відоме ще древнім грекам з розв’язання задачі про поділ відрізка в середнім і крайнім відношеннях. У середні віки таке пропорційне відношення було названо “золотим”. Цим і пояснюється походження назви кодів. Подібно -кодам Фібоначчі особливістю кодів “золотий” -пропорції є неоднозначність представлення дійсних чисел, за винятком нуля. Крім того, при р>0 поняття цілого і дробового числа в таких кодах не збігаються з загальноприйнятими. Наприклад, ціле число 3 у коді “золотої” 1-пропорції зображується як 100,01, а ірраціональне число при будь-якому р>0 зображується так само, як і основа числення в канонічній двійковій системі, тобто, як 10.

Дата добавления: 2014-01-05