Касательная плоскость и нормаль к поверхности

В обыкновенной точке А поверхности Σ можно построить единственную касательную плоскость (рис. 7.7). Для этого на поверхности через точку А необходимо провести две кривые a и b, а затем построить две касательные а¹ и b¹ соответственно к a и b. Касательная плоскость Δ образована прямыми a₁ и b₁. Прямая n ^ Δ называется нормалью поверхности Σ в точке А.

Задача. Даны сфера и точка А на ней. Построить касательную плоскость и нормаль к сфере в точке А (рис. 7.8).

Решение задачи может быть выполнено следующим

образом:

1) построим две окружности а(a₁, a₂) и b(b₁,b₂ ) на сфере, пересекающиеся в точке А(А₁,А₂);

2) проведем две касательные а¹ (а¹₁ , а¹₂ ) и b¹ (b¹₁ , b¹₂ ) к окружностям a и b соответственно; искомая касательная плоскость образуется касательными a¹ и b¹;

3) построим нормаль n(n₁,n₂ ) к поверхности сферы по следующим условиям:

n₁ ^ b¹₁ , n₂ ^ а¹₂.

Заметим, что поверхность сферы состоит только из обыкновенных точек.

Задача. Даны коническая поверхность вращения и точка А на ней. Построить касательную плоскость и нормаль к поверхности в точке А (рис. 7.9).

Решение задачи:

1) построим на конической поверхности две линии, пересекающиеся в точке А: окружность а(a₁, a₂ ) и прямую b = SA(S₁A₁, S₂A₂);

2) проведем касательную а¹ (а¹₁,а¹₂ ) к окружности а; две пересекающиеся в точке А прямые a₁ и SA образуют касательную плоскость к поверхности конуса;

3) при помощи преобразования вращения (см. рис. 7.9) построим промежуточное положение n¹(n¹₁,n¹₂ ) искомой нормали n, а затем ее искомое положение n(n₁,n₂ ).

Вершина S – единственная особая точка на поверхности конуса.

Дата добавления: 2014-01-05