КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Параметрические уравнения
Здесь мы поговорим о параметрических уравнениях вообще. Рассмотрим уравнения следующего вида: Здесь x (t), y (t) и z (t) представляют собою функции, определённые на одном и том же промежутке Δ = ‹α; β› и непрерывные на нём (с обычной оговоркой относительно концов). Возьмём какое-либо конкретное значение параметра t 1 Î Δ и отметим точку с координатами (x (t 1); y (t 1); z (t 1)). Взяв другое значение параметра, мы с помощью той же процедуры можем отметить другую точку (случайным образом она может совпасть с первой). Проделывая это с каждой точкой промежутка Δ (т. е. с каждым возможным значением параметра t), мы получим некоторую совокупность точек пространства (вообще говоря, бесконечную), которую можно назвать линией или кривой. В такой ситуации говорят, что уравнения (6) определяют эту кривую или являются параметрическими уравнениями этой линии. Классический пример (правда, на плоскости, а не в пространстве): уравнения представляют собою параметрические уравнения единичной окружности. Для аналитической геометрии важен, конечно, случай, когда параметризующие функции x (t), y (t) и z (t) линейны. Итак, рассмотрим параметрические уравнения следующего вида: Всегда будем считать, что Δ = (−∞; ∞) = R. Теорема. Параметрические уравнения (7) при условии l = {α; β; γ} ≠ 0 определяют в трёхмерном пространстве прямую линию, проходящую через точку M 0 = (x 0; y 0; z 0), для которой вектор l является направляющим. Доказательство. Здесь также будем предполагать, что все три числа α, β и γ не равны нулю. Обозначим через Γ множество точек, определяемое уравнениями (7), и рассмотрим уравнения определяющие, как мы видели, прямую L, проходящую через точку M 0 = (x 0; y 0; z 0), для которой вектор l является направляющим. Нам достаточно, стало быть, доказать, что Γ = = L. Для доказательства этого факта возьмём произвольную точку M 1 = (x 1; y 1; z 1) Î L и заметим, что для неё удовлетворяются уравнения (5): Общее значение этих трёх величин обозначим t 1; имеем: Но это означает, что M 1 = (x 1; y 1; z 1) Î Γ. Обратно, пусть точка M 2 = (x 2; y 2; z 2) Î Γ. Это означает существование такого t 2, для которого выполняются соотношения: из которых немедленно получаем: что означает, что M 2 = (x 2; y 2; z 2) Î L, QED.
[1] Я почерпнул его в учебнике П. С. Моденова «Аналитическая геометрия». [2] От латинского слова mediocritas ‛середина’. [3] Quod erat demonstrandum (лат.) ‛что и требовалось доказать’. [4] Длину вектора a обозначаю | a | (аналогично для отрезка). [5] Точнее, несущие прямые каких-нибудь (а значит, и любых) их представителей коллинеарны. Подобные замечания я уже не буду делать впредь. [6] В математике используются три синонима: перпендикулярный, ортогональный и нормальный. [7] От слова замостить (плоскость), однокоренного к слову мост. [8] Carl Gustav Jacob Jacobi(Карл Густав Якоб Яко́би, 10.12.1804, Потсдам − 18.02.1851, Берлин) − известный немецкий математик, родной брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби. [9] Carl Gustav Jacob Jacobi(Карл Густав Якоб Яко́би, 10.12.1804, Потсдам − 18.02.1851, Берлин) − известный немецкий математик, родной брат российского академика, физика Бориса Семёновича Якоби.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 386; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |