Нерекурсивные симметричные фильтры

n

описываются КРУ

y_i= ∑ b_kx_i+k (74)

	i=-n

Условия симметричности:

b_k=b_-k (75)

ПФ-ция:

W(z) = b_-nz^-n + b_-n+1z^-n+1 +…+ b₀ +…+ b_n-1z^n-1 + b_nzⁿ (76)

Подстановкой

z^k+z^-k=e^jwkT+e^-jwkT=2Cos(kwT) (77)

найдём АЧХ фильтра:

A(w)=b₀+2(b₁Cos(wT)+…+b_nCos(nwT)) (78)

n

Выражение (78), по сути, является разложением в Ряд Фурье периодической чётной функции:

i=1

f(x)=a₀/2+ ∑ a_k Cos(kwx), (79)

T/2

где

a_k=4/T_п ∫ f(x)Cos(kwx)dx (80)

-коэффициенты разложения (Т_п - период повторения).

Таким образом, для нахождения коэффициентов b_k требуется разложить АЧХ фильтра в ряд Фурье, и тогда:

b_k=a_k/2, (81)

но при этом следует считать АЧХ чётной, то есть, продлить область отрицательных частот:

Обычно х (в (79))-время, а здесь x -частота (в (78)). Т_п - период повторения, аналог; Т_k – период квантавания.

-аналоги

-B 0 B

	B

Тогда

b_k=2/w_k ∫ Cos(kwT_k)dw = Sin(kBT_k)/kπ (82)

b₀=2/w_k ∫ dw=BT_k/π (83)

Характеристика НСФ приближается к идеальной с ростом n, а при конечном n усечённый ряд Фурье и имеет колебательный характер. явление Гиббса.

Ланцош предложил для устранения пульсации умножить коэффициенты b_k на σ-факторы:

σ_k,n =Sin(πk/n) / (πk/n) (84)

Уравнение НСФ (74) может рассматривать как результат прохождения ∞ ВР через прямоугольное окно шириной 2πТ_k.

Установлено, что варьируя форму окна, можно улучшить характеристику фильтра. При этом каждое слагаемое уравнения (74) умножается на значение весовой функции.

Дата добавления: 2014-01-05