Спо­со­бы груп­пи­ров­ки пер­ви­ч­ных дан­ных

За­фи­к­си­ро­ван­ные в до­ку­мен­тах уче­та све­де­ния об изу­ча­е­мом объ­е­к­те (или объ­е­к­тах) пред­ста­в­ля­ют тот фа­к­ти­че­с­кий ма­те­ри­ал, ко­то­рый ну­ж­да­ет­ся в со­от­вет­ст­ву­ю­щей об­ра­бот­ке. Об­ра­бот­ка на­чи­на­ет­ся с упо­ря­до­че­ния или си­с­те­ма­ти­за­ции со­б­ран­ных дан­ных. Про­цесс си­с­те­ма­ти­за­ции ре­зуль­та­тов мас­со­вых на­блю­де­ний, объ­е­ди­не­ния их в от­но­си­тель­но од­но­род­ные груп­пы по не­ко­то­ро­му при­зна­ку на­зы­ва­ет­ся груп­пи­ров­кой.

Груп­пи­ров­ка - это не про­с­то тех­ни­че­с­кий при­ем, по­з­во­ля­ю­щий пред­ста­вить пер­ви­ч­ные дан­ные в ком­п­лекс­ном ви­де, но и ос­мы­с­лен­ное дей­ст­вие, на­пра­в­лен­ное на вы­яв­ле­ние свя­зи ме­ж­ду яв­ле­ни­я­ми. Один и тот же ма­те­ри­ал да­ет со­вер­шен­но про­ти­во­по­ло­ж­ные вы­во­ды при раз­ных при­е­мах груп­пи­ров­ки. Нель­зя груп­пи­ро­вать в од­ну и ту же со­во­куп­ность не­од­но­род­ные по со­ста­ву дан­ные, не­об­ду­ман­но вы­би­рать спо­соб груп­пи­ров­ки. Груп­пи­ров­ка дол­ж­на от­ве­чать тре­бо­ва­нию за­да­чи и со­от­вет­ст­во­вать со­дер­жа­нию изу­ча­е­мо­го яв­ле­ния.

Таб­ли­цы. Наи­бо­лее рас­про­стра­нен­ной фор­мой груп­пи­ров­ки яв­ля­ют­ся ста­ти­сти­че­с­кие таб­ли­цы; они бы­ва­ют про­сты­ми и сло­ж­ны­ми. К про­стым от­но­сят­ся, на­при­мер, че­ты­рех­поль­ные таб­ли­ца, при­ме­ня­е­мые при аль­тер­на­тив­ной груп­пи­ров­ке, ко­г­да од­на груп­па пе­ре­мен­ных про­ти­во­по­с­та­в­ля­ет­ся дру­гой; на­при­мер, здо­ро­вые - боль­ным, вы­со­кие - ни­з­ким и т.д.

Школь­ные клас­сы	Де­тей		Всег
	Здо­ро­вых	Боль­ных
Тре­тьи и чет­вер­тые
Пя­тые и ше­с­тые
Все­го

К сло­ж­ным от­но­сят­ся мно­го­поль­ные таб­ли­цы, при­ме­ня­е­мые при изу­че­нии кор­ре­ля­ци­он­ной за­ви­си­мо­сти и при вы­яс­не­нии при­чин­но-след­ст­вен­ных от­но­ше­ний ме­ж­ду варь­и­ру­ю­щи­ми при­зна­ка­ми. При­ме­ром кор­ре­ля­ци­он­ной таб­ли­цы слу­жат дан­ные, по­ка­зы­ва­ю­щие на­ли­чие по­ло­жи­тель­ной за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду ро­с­том ро­ди­те­лей и ро­с­том их де­тей.

В ка­че­ст­ве при­ме­ра груп­пи­ров­ки, при­ме­ня­е­мых при вы­яс­не­нии при­чин­но-след­ст­вен­ных от­но­ше­ний ме­ж­ду при­зна­ка­ми, мо­ж­но при­ве­с­ти сле­ду­ю­щую за­ви­си­мость:

Био­то­пы				Сре­д­нее
лес
по­ле
дом

Из при­ме­ров вид­но, что ста­ти­сти­че­с­кие таб­ли­цы име­ют не толь­ко ил­лю­ст­ра­тив­ное, но и ана­ли­ти­че­с­кое зна­че­ние, по­з­во­ля­ю­щее об­на­ру­жи­вать свя­зи ме­ж­ду варь­и­ру­ю­щи­ми при­зна­ка­ми.

Ста­ти­сти­че­с­кие ря­ды. Осо­бую фор­му груп­пи­ров­ки пред­ста­в­ля­ют так на­зы­ва­е­мые ста­ти­сти­че­с­кие ря­ды. Ста­ти­сти­че­с­ким на­зы­ва­ет­ся ряд чи­сло­вых зна­че­ний при­зна­ка рас­по­ло­жен­ных в оп­ре­де­лен­ном по­ряд­ке. В за­ви­си­мо­сти от то­го, ка­кие при­зна­ки изу­ча­ют­ся, ста­ти­сти­че­с­кие ря­ды де­лят на ат­ри­бу­тив­ные, ва­ри­а­ци­он­ные, ря­ды ди­на­ми­ки и ре­г­рес­сии, а так­же ря­ды ран­жи­ро­ванн­ных зна­че­ний при­зна­ков и ря­ды на­ко­п­лен­ных ча­с­тот, яв­ля­ю­щих­ся про­из­вод­ны­ми ва­ри­а­ци­он­ных ря­дов. При­ме­ром ат­ри­бу­тив­но­го ря­да мо­гут слу­жить дан­ные, по­ка­зы­ва­ю­щие за­ви­си­мость ме­ж­ду со­дер­жа­ни­ем ге­мо­гло­би­на в кро­ви и вы­со­той ор­га­ни­за­ции по­зво­но­ч­ных жи­вот­ных.

Класс жи­вот­ных	Ры­бы	Ам­фи­бии	Ре­п­ти­лии	Пти­цы	Мле­ко­пи­та­ю­щие
Кол-во Hb (г/кг мас­сы)	1.6	2.9	3.8	11.2	11.7

Сре­ди груп­пи­ро­вок вид­ное ме­с­то за­ни­ма­ют ва­ри­а­ци­он­ные ря­ды. На их опи­са­нии сле­ду­ет ос­та­но­вить­ся бо­лее под­роб­но. Ря­ды ре­г­рес­сии, ди­на­ми­ки и дру­гие мы раз­бе­рем на сле­ду­ю­щих лек­ци­ях.

Ва­ри­а­ци­он­ным ря­дом или ря­дом рас­пре­де­ле­ния на­зы­ва­ют двой­ной ряд чи­сел, по­ка­зы­ва­ю­щий, ка­ким об­ра­зом чи­сло­вые зна­че­ния при­зна­ка свя­за­ны с их по­в­то­ря­е­мо­стью в дан­ной ста­ти­сти­че­с­кой со­во­куп­но­сти. На­при­мер, из уро­жая кар­то­фе­ля, со­б­ран­но­го на ого­ро­де, слу­чай­ным об­ра­зом ото­бра­но 10 клуб­ней, в ко­то­рых под­счи­ты­ва­ли чи­с­ло гла­з­ков. Ре­зуль­та­ты под­сче­та ока­за­лись сле­ду­ю­щие: 6, 9, 5, 7, 10, 8, 9, 10, 8, 11. Что­бы ра­зо­брать­ся в этих дан­ных, рас­по­ло­жим их в ряд (в по­ряд­ке ре­ги­ст­ра­ции ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний) с уче­том по­в­то­ря­е­мо­сти ва­ри­ант в со­во­куп­но­сти.

Ва­ри­ан­ты xi 6 9 5 7 10 8 11

Чи­с­ло ва­ри­ант fi 1 2 1 1 2 2 1

Это и есть ва­ри­а­ци­он­ный ряд. Чи­с­ла, по­ка­зы­ва­ю­щие, сколь­ко раз от­дель­ные ва­ри­ан­ты встре­ча­ют­ся в дан­ной со­во­куп­но­сти на­зы­ва­ют­ся ча­с­то­та­ми или ве­са­ми ва­ри­ант и обо­з­на­ча­ют­ся стро­ч­ной бу­к­вой ла­тин­ско­го ал­фа­ви­та f. Об­щая сум­ма ча­с­тот ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да рав­на объ­е­му дан­ной со­во­куп­но­сти.

Ча­с­то­ты (ве­са) вы­ра­жа­ют не толь­ко аб­со­лют­ны­ми, но и от­но­си­тель­ны­ми чи­с­ла­ми - в до­лях еди­ни­цы или в про­цен­тах от об­щей чи­с­лен­но­сти ва­ри­ант, со­ста­в­ля­ю­щих дан­ную со­во­куп­ность. В та­ких слу­ча­ях ве­са на­зы­ва­ют от­но­си­тель­ны­ми ча­с­то­та­ми или ча­с­то­стя­ми.

Рас­пре­де­ле­ние ис­ход­ных дан­ных в ва­ри­а­ци­он­ный ряд пре­сле­ду­ет оп­ре­де­лен­ные це­ли. Од­на из них ус­ко­ре­ние ра­бо­ты при вы­чи­с­ле­нии по ва­ри­а­ци­он­но­му ря­ду обоб­ща­ю­щих чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик - сред­ней ве­ли­чи­ны и по­ка­за­те­лей ва­ри­а­ции. Дру­гая сво­дит­ся к вы­яв­ле­нию за­ко­но­мер­но­сти варь­и­ро­ва­ния учи­ты­ва­е­мо­го при­зна­ка. При­ве­ден­ный ряд удо­в­ле­тво­ря­ет пер­вой, но не удо­в­ле­тво­ря­ет до­с­ти­же­нию вто­рой це­ли. Что­бы ряд рас­пре­де­ле­ния по­л­но­стью удо­в­ле­тво­рял предъ­я­в­ля­е­мым к не­му тре­бо­ва­ни­ям, его ну­ж­но стро­ить по ран­жи­ро­ван­ным зна­че­ни­ям при­зна­ка.

Под ран­жи­ро­ва­ни­ем по­ни­ма­ют рас­по­ло­же­ние чле­нов ря­да в воз­рас­та­ю­щем (или убы­ва­ю­щем) по­ряд­ке. Так, в дан­ном слу­чае ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний сле­ду­ет рас­по­ло­жить так:

Ва­ри­ан­ты xi 5 6 7 8 9 10 11

Чи­с­ло ва­ри­ант fi 1 1 1 2 2 2 1

В за­ви­си­мо­сти от то­го, как варь­и­ру­ет при­знак - дис­крет­но или не­пре­рыв­но, в ши­ро­ком или уз­ком ди­а­па­зо­не, - ста­ти­сти­че­с­кая со­во­куп­ность рас­пре­де­ля­ет­ся в бе­зын­тер­валь­ный или ин­тер­валь­ный ва­ри­а­ци­он­ные ря­ды. В пер­вом слу­чае ча­с­то­ты от­но­сят­ся не­по­сред­ст­вен­но к ран­жи­ро­ван­ным зна­че­ни­ям при­зна­ка, ко­то­рые при­об­ре­та­ют по­ло­же­ние от­дель­ных групп или клас­сов ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да, во вто­ром - под­счи­ты­ва­ют ча­с­то­ты, от­но­ся­щи­е­ся к от­дель­ным про­ме­жут­кам или ин­тер­ва­лам (от - до), на ко­то­рые раз­би­ва­ет­ся об­щая ва­ри­а­ция при­зна­ка в пре­де­лах от ми­ни­маль­ной до ма­к­си­маль­ной ва­ри­ан­ты дан­ной со­во­куп­но­сти. Эти про­ме­жут­ки мо­гут быть рав­ны­ми и не рав­ны­ми по ши­ри­не. От­сю­да раз­ли­ча­ют рав­но- и не­рав­но­ин­тер­валь­ные ва­ри­а­ци­он­ные ря­ды. При­ме­ром не­рав­но­ин­тер­валь­но­го ря­да мо­гут слу­жить дан­ные по­ка­зы­ва­ю­щие за­ви­си­мость ме­ж­ду чи­с­лом стай ка­ких-то птиц и ко­ли­че­ст­вом осо­бей в стае в гне­з­до­вой и по­с­лег­не­з­до­вой пе­ри­од.

В не­рав­но­ин­тер­валь­ных ря­дах ха­ра­к­тер рас­пре­де­ле­ния ча­с­тот ме­ня­ет­ся по ме­ре из­ме­не­ния ши­ри­ны клас­со­вых ин­тер­ва­лов. По­э­то­му в ка­че­ст­ве чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик та­ких ря­дов ис­поль­зу­ют осо­бые по­ка­за­те­ли.

Не­рав­но­ин­тер­валь­ную груп­пи­ров­ку в био­ло­гии при­ме­ня­ют срав­ни­тель­но ред­ко. Как пра­ви­ло дан­ные рас­по­ла­га­ют­ся в рав­но­ин­тер­валь­ные ря­ды, что по­з­во­ля­ет не толь­ко вы­явить за­ко­но­мер­ность варь­и­ро­ва­ния, но и об­лег­ча­ет вы­чи­с­ле­ние свод­ных чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да, со­по­с­та­в­ле­ние ря­дов рас­пре­де­ле­ния друг с дру­гом.

При­сту­пая к по­стро­е­нию рав­но­ин­тер­валь­но­го ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да, ва­ж­но пра­виль­но на­ме­тить ши­ри­ну клас­со­во­го ин­тер­ва­ла. Де­ло в том, что гру­бая груп­пи­ров­ка (ко­г­да ус­та­на­в­ли­ва­ют очень ши­ро­кие клас­со­вые ин­тер­ва­лы) ис­ка­жа­ет ти­пи­ч­ные чер­ты варь­и­ро­ва­ния и ве­дет к сни­же­нию то­ч­но­сти чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик. При вы­бо­ре чрез­мер­но уз­ких ин­тер­ва­лов то­ч­ность обоб­ща­ю­щих чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик по­вы­ша­ет­ся, но ряд по­лу­ча­ет­ся слиш­ком рас­тя­ну­тым и не да­ет чет­кой кар­ти­ны варь­и­ро­ва­ния.

Для по­лу­че­ния хо­ро­шо обо­з­ри­мо­го ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да и обес­пе­че­ния до­с­та­то­ч­ной то­ч­но­сти вы­чи­с­ля­е­мых по не­му чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик сле­ду­ет раз­бить ва­ри­а­цию при­зна­ка (в пре­де­лах от ми­ни­маль­ной до ма­к­си­маль­ной ва­ри­ан­ты) на та­кое чи­с­ло групп или клас­сов, ко­то­рое удо­в­ле­тво­ря­ло бы обо­им тре­бо­ва­ни­ям. Эту за­да­чу ре­ша­ют де­ле­ни­ем раз­ма­ха варь­и­ро­ва­ния при­зна­ка на чи­с­ло групп или клас­сов, на­ме­ча­е­мых при по­стро­е­нии ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да:

l=(X_imax-X_imin)/k,

где l - ве­ли­чи­на клас­со­во­го ин­тер­ва­ла;

К - чи­с­ло клас­сов, на ко­то­рые сле­ду­ет раз­бить ва­ри­а­цию при­зна­ка.

Чи­с­ло клас­сов мо­ж­но при­бли­зи­тель­но на­ме­тить, поль­зу­ясь таб­ли­цей:

Чи­с­ло на­блю­де­ний	Чи­с­ло клас­сов
25-40	5-6
40-60	6-8
60-100	7-10
100-200	8-12
>200	10-15

Бо­лее то­ч­но ве­ли­чи­ну К мо­ж­но оп­ре­де­лить по фор­му­ле Стер­д­же­са: К=1+3.32*lg n. При на­ли­чии в со­во­куп­но­сти боль­шо­го чи­с­ла чле­нов (боль­ше 100) мо­ж­но ис­поль­зо­вать фор­му­лу К=5*lg n.

Ос­нов­ные ха­ра­к­те­ри­сти­ки варь­и­ру­ю­щих объ­е­к­тов.

Сред­ние ве­ли­чи­ны.

Для ха­ра­к­те­ри­сти­ки варь­и­ру­ю­щих (из­ме­ня­ю­щих­ся) объ­е­к­тов слу­жат осо­бые, ло­ги­че­с­ки и те­о­ре­ти­че­с­ки обо­с­но­ван­ные чи­сло­вые по­ка­за­те­ли, на­зы­ва­е­мые ста­ти­сти­че­с­ки­ми ха­ра­к­те­ри­сти­ка­ми. К ним от­но­сят­ся пре­ж­де все­го сред­ние ве­ли­чи­ны и по­ка­за­те­ли ва­ри­а­ции.

В от­ли­чие от ин­ди­ви­ду­аль­ный чи­сло­вых ха­ра­к­те­ри­стик сред­ние ве­ли­чи­ны об­ла­да­ют боль­шей ус­той­чи­во­стью, спо­соб­но­стью ха­ра­к­те­ри­зо­вать це­лую груп­пу од­ним (сред­ним) чи­с­лом. И хо­тя сред­ние ве­ли­чи­ны аб­ст­ракт­ны, они впол­не по­нят­ны и ощу­ти­мы. Сред­ний рост, сред­няя про­ду­к­тив­ность, сред­ний уро­жай, сред­няя ус­пе­ва­е­мость и дру­гие сред­ние - все это по­ня­тия аб­ст­ракт­ные о кон­крет­ном. Зна­че­ние сред­них за­клю­ча­ет­ся в в их свой­ст­ве ак­ку­му­ли­ро­вать или урав­но­ве­ши­вать все ин­ди­ви­ду­аль­ные от­кло­не­ния, в ре­зуль­та­те че­го про­яв­ля­ет­ся то наи­бо­лее ус­той­чи­вое и ти­пи­ч­ное, что ха­ра­к­те­ри­зу­ет ка­че­ст­вен­ное свое­об­ра­зие варь­и­ру­ю­ще­го объ­е­к­та, по­з­во­ля­ет от­ли­чить один груп­по­вой объ­ект от дру­го­го.

В за­ви­си­мо­сти от то­го, как рас­пре­де­ле­ны ис­ход­ные дан­ные - в рав­но- или не­рав­но­ин­тер­валь­ный ва­ри­а­ци­он­ный ряд, для их ха­ра­к­те­ри­сти­ки при­ме­ня­ют раз­ные сред­ние ве­ли­чи­ны. Имен­но при рас­пре­де­ле­нии со­б­ран­ных дан­ных в не­рав­но­ин­тер­валь­ный ва­ри­а­ци­он­ный ряд бо­лее под­хо­дя­щей обоб­ща­ю­щей ха­ра­к­те­ри­сти­кой изу­ча­е­мо­го объ­е­к­та, слу­жит так на­зы­ва­е­мая плот­ность рас­пре­де­ле­ния, т.е. от­но­ше­ние ча­с­тот или ча­с­то­стей к ши­ри­не клас­со­вых ин­тер­ва­лов. Кро­ме то­го, чи­сло­вы­ми ха­ра­к­те­ри­сти­ка­ми та­ких ря­дов мо­гут слу­жить сред­ние из аб­со­лют­ных или от­но­си­тель­ных по­ка­за­те­лей плот­но­сти рас­пре­де­ле­ния. Сред­няя плот­ность по­ка­зы­ва­ет, сколь­ко еди­ниц дан­ной со­во­куп­но­сти при­хо­дит­ся в сре­д­нем на ин­тер­вал, рав­ный еди­ни­це из­ме­ре­ния учи­ты­ва­е­мо­го при­зна­ка.

В ка­че­ст­ве ста­ти­сти­че­с­ких ха­ра­к­те­ри­стик рав­но­ин­тер­валь­ных ва­ри­а­ци­он­ных ря­дов при­ме­ня­ют сред­ние ве­ли­чи­ны.

Сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая. Этот по­ка­за­тель яв­ля­ет­ся цен­т­ром рас­пре­де­ле­ния во­к­руг ко­то­ро­го груп­пи­ру­ют­ся все ва­ри­ан­ты ста­ти­сти­че­с­кой со­во­куп­но­сти. Сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая мо­жет быть про­стой и взве­шен­ной. Про­стую ариф­ме­ти­че­с­кую оп­ре­де­ля­ют как сум­му всех чле­нов со­во­куп­но­сти, де­лен­ную на их об­щее чи­с­ло. Ко­г­да от­дель­ные ва­ри­ан­ты по­в­то­ря­ют­ся, сред­нюю ариф­ме­ти­че­с­кую вы­чи­с­ля­ют по фор­му­ле:

1/n*Sxifi и на­зы­ва­ют взве­шен­ной сред­ней.

Сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая об­ла­да­ет ря­дом ва­ж­ных свойств:

1. Ес­ли ка­ж­дую ва­ри­ан­ту ста­ти­сти­че­с­кой со­во­куп­но­сти умень­шить или уве­ли­чить на не­ко­то­рое про­из­воль­но взя­тое по­ло­жи­тель­ное чи­с­ло, то и сред­няя умень­шит­ся или уве­ли­чит­ся на это чи­с­ло.

2. Ес­ли ка­ж­дую ва­ри­ан­ту раз­де­лить или ум­но­жить на ка­кое-то од­но и то же чи­с­ло, то и сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая из­ме­нит­ся во столь­ко же раз.

3. Сум­ма про­из­ве­де­ний от­кло­не­ний ва­ри­ант от их сред­ней ариф­ме­ти­че­с­кой на со­от­вет­ст­ву­ю­щие им ча­с­то­ты рав­на ну­лю.

4. Сум­ма ква­д­ра­тов от­кло­не­ний ва­ри­ант от их сред­ней мень­ше сум­мы ква­д­ра­тов от­кло­не­ний тех же ва­ри­ант от лю­бой дру­гой ве­ли­чи­ны.

Сред­няя гар­мо­ни­че­с­кая. Эту ха­ра­к­те­ри­сти­ку в от­ли­чие от сред­ней ариф­ме­ти­че­с­кой оп­ре­де­ля­ют как сум­му об­рат­ных зна­че­ний ва­ри­ант, де­ле­ну­юю на их чи­с­ло.

Xh=n/S(1/xi)

При­мер. 5 сту­ден­тов за 1 час на­бра­ли сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ст­во жу­ков: 1 - 10, 2 - 20, 3 - 25, 4 - 30, 5 - 20. Все­го 105 штук. Оце­ним ито­ги с по­мо­щью Х и Хh. X=21 жук. Xh=5/(1/10+1/20+1/25+1/30+1/20)=18.31.

Раз­ни­ца весь­ма за­мет­на. Ка­кая же из сред­них вер­на. По­про­бу­ем с по­мо­щью Х вы­чи­с­лить вре­мя, за­тра­чен­ное на 1 жу­ка - 60/21=2.86 мин. Вер­но ли это? Про­ве­рим ре­зуль­тат. пер­вый сту­дент за­тра­тил 6 мин, 2 - 3, 3 - 2.4, 4 - 2, 5 - 3. В сре­д­нем по­лу­чит­ся 3.38мин. Вид­но, что сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая не­при­год­на для оп­ре­де­ле­ния сре­д­не­го вре­ме­ни, за­тра­чи­ва­е­мо­го на по­им­ку 1 жу­ка.

Из при­ве­ден­но­го при­ме­ра вид­но, что сред­няя гар­мо­ни­че­с­кая при­ме­ня­ет­ся то­г­да, ко­г­да ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний об­на­ру­жи­ва­ют об­рат­ную за­ви­си­мость, за­да­ны об­рат­ны­ми зна­че­ни­я­ми ва­ри­ант.

Сред­няя ква­д­ра­ти­че­с­кая. Для бо­лее то­ч­ной чи­сло­вой ха­ра­к­те­ри­сти­ки мер пло­ща­ди при­ме­ня­ет­ся сред­няя ква­д­ра­ти­че­с­кая.

XQ=S x²/n.

Сред­няя ку­би­че­с­кая. В ка­че­ст­ве ха­ра­к­те­ри­сти­ки объ­ем­ных при­зна­ков бо­лее то­ч­ной яв­ля­ет­ся сред­няя ку­би­че­с­кая.

Xq=Sx³/n.

Сред­няя гео­ме­т­ри­че­с­кая. Этот по­ка­за­тель пред­ста­в­ля­ет со­бой ко­рень n-й сте­пе­ни из про­из­ве­де­ний чле­нов ря­да. Сред­няя гео­ме­т­ри­че­с­кая - бо­лее то­ч­ная ха­ра­к­те­ри­сти­ка ря­дов ди­на­ми­ки, чем сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая. Од­на­ко, они, как пра­ви­ло, не­зна­чи­тель­но от­ли­ча­ют­ся друг от дру­га. К то­му же вы­чи­с­ле­ние сред­ней ариф­ме­ти­че­с­кой про­ще. По­э­то­му вме­сто сред­ней гео­ме­т­ри­че­с­кой в ка­че­ст­ве при­бли­жен­ной ха­ра­к­те­ри­сти­ки тем­пов ди­на­ми­ки не­ред­ко ис­поль­зу­ют сред­нюю ариф­ме­ти­че­с­кую. При этом при­хо­дит­ся учи­ты­вать, что сред­няя гео­ме­т­ри­че­с­кая да­ет хо­ро­шие (не ис­ка­жен­ные) ре­зуль­та­ты лишь при на­ли­чии гео­ме­т­ри­че­с­кой про­грес­сии, за­ло­жен­ной в са­мой ди­на­ми­ке яв­ле­ния. Это об­сто­я­тель­ст­во ог­ра­ни­чи­ва­ет об­ласть при­ме­не­ния сред­ней гео­ме­т­ри­че­с­кой.

В за­клю­че­ние об­зо­ра сред­них не­об­хо­ди­мо от­ме­тить, что ме­ж­ду ни­ми су­ще­ст­ву­ют оп­ре­де­лен­ные со­от­но­ше­ния, вы­ра­жен­ные сле­ду­ю­щим ря­дом не­ра­вен­ст­ва.

ХQ>Хq>Х>Хg>Хh.

По­ка­за­те­ли ва­ри­а­ции.

Сред­ние ве­ли­чи­ны не яв­ля­ют­ся уни­вер­саль­ны­ми ха­ра­к­те­ри­сти­ка­ми варь­и­ру­ю­щих объ­е­к­тов. При оди­на­ко­вых сред­них при­зна­ки мо­гут от­ли­чать­ся по ве­ли­чи­не и ха­ра­к­те­ру варь­и­ро­ва­ния. По­э­то­му на­ря­ду со сред­ни­ми для ха­ра­к­те­ри­сти­ки варь­и­ру­ю­щих объ­е­к­тов ис­поль­зу­ют и по­ка­за­те­ли ва­ри­а­ции. Од­ним из та­ких по­ка­за­те­лей яв­ля­ют­ся ли­ми­ты (пре­де­лы). В био­ме­т­рии под этим тер­ми­ном по­ни­ма­ют зна­че­ния ми­ни­маль­ной и ма­к­си­маль­ной ва­ри­ант со­во­куп­но­сти.

Раз­мах ва­ри­а­ции. Это по­ка­за­тель пред­ста­в­ля­ю­щий со­бой раз­ность ма­к­си­маль­ной и ми­ни­маль­ной ва­ри­ант со­во­куп­но­сти. Чем силь­нее варь­и­ру­ет при­знак, тем боль­ше раз­мах ва­ри­а­ции и на­обо­рот.

Ли­ми­ты и раз­мах ва­ри­а­ции - про­стые и на­гляд­ные ха­ра­к­те­ри­сти­ки варь­и­ро­ва­ния, од­на­ко им при­су­щи су­ще­ст­вен­ные не­до­с­тат­ки: при по­в­тор­ных из­ме­ре­ни­ях од­но­го и то­го же груп­по­во­го объ­е­к­та они мо­гут су­ще­ст­вен­но из­ме­нять­ся; кро­ме то­го, они не ото­бра­жа­ют су­ще­ст­вен­ные чер­ты варь­и­ро­ва­ния.

Бо­лее удоб­ной ха­ра­к­те­ри­сти­кой ва­ри­а­ции мог бы слу­жить по­ка­за­тель ко­то­рый стро­ит­ся на ос­но­ва­нии от­кло­не­ний ва­ри­ант от их сред­ней. Сум­ма та­ких от­кло­не­ний, взя­тая без уче­та зна­ков и от­не­сен­ная к чи­с­лу на­блю­де­ний на­зы­ва­ет­ся сред­ним ли­ней­ным от­кло­не­ни­ем.

Ди­с­пер­сия и ее свой­ст­ва. Не­смо­т­ря на яв­ное пре­и­му­ще­ст­во сре­д­не­го ли­ней­но­го от­кло­не­ния пе­ред ли­ми­та­ми и раз­ма­хом ва­ри­а­ции, этот по­ка­за­тель не по­лу­чил ши­ро­ко­го рас­про­стра­не­ния на пра­к­ти­ке. Наи­бо­лее под­хо­дя­щим ока­зал­ся по­ка­за­тель, по­стро­ен­ный не на от­кло­не­ни­ях ва­ри­ант от их сред­них, а на ква­д­ра­тах этих от­кло­не­ний, его на­зы­ва­ют ди­с­пер­си­ей (рас­се­я­ние) и вы­ра­жа­ют фор­му­лой S2=S(Xi-X)²/n

Цен­ность ди­с­пер­сии за­клю­ча­ет­ся в том, что, яв­ля­ясь ме­рой варь­и­ро­ва­ния чи­сло­вых зна­че­ний при­зна­ка во­к­руг их сред­ней ариф­ме­ти­че­с­кой, она из­ме­ря­ет и вну­т­рен­нюю из­мен­чи­вость зна­че­ний при­зна­ка, за­ви­ся­щую от раз­но­стей ме­ж­ду на­блю­де­ни­я­ми. Пре­и­му­ще­ст­во ди­с­пер­сии пе­ред дру­ги­ми по­ка­за­те­ля­ми ва­ри­а­ции со­сто­ит так­же в том, что она раз­ла­га­ет­ся на со­став­ные ком­по­нен­ты, по­з­во­ляя тем са­мым оце­ни­вать вли­я­ние раз­ли­ч­ных фа­к­то­ров на ве­ли­чи­ну учи­ты­ва­е­мо­го при­зна­ка.

Вме­сте с тем ус­та­но­в­ле­но, что рас­чи­ты­ва­е­мая по фор­му­ле ди­с­пер­сия ока­зы­ва­ет­ся сме­щен­ной по от­но­ше­нию к сво­ему ге­не­раль­но­му па­ра­ме­т­ру на ве­ли­чи­ну, рав­ную n/n-1. Что­бы по­лу­чить не­сме­щен­ную ди­с­пер­сию, ну­ж­но в фор­му­лу вве­сти в ка­че­ст­ве мно­жи­те­ля по­прав­ку на сме­щен­ность, на­зы­ва­е­мую по­прав­кой Бес­се­ля. В ре­зуль­та­те S2=S(Xi-X)²/(n-1)

Раз­ность n-1, на­зы­ва­ют чи­с­лом сте­пе­ней сво­бо­ды, под ко­то­рым по­ни­ма­ют чи­с­ло сво­бод­но варь­и­ру­ю­щих еди­ниц в со­ста­ве чи­с­лен­но ог­ра­ни­чен­ной ста­ти­сти­че­с­кой со­во­куп­но­сти.

Ди­с­пер­сия об­ла­да­ет ря­дом ва­ж­ных свойств, из ко­то­рых не­об­хо­ди­мо вы­де­лить сле­ду­ю­щие.

1. Ес­ли ка­ж­дую ва­ри­ан­ту со­во­куп­но­сти умень­шить или уве­ли­чить на од­но и то же по­сто­ян­ное чи­с­ло, то ди­с­пер­сия не из­ме­нит­ся.

2. Ес­ли ка­ж­дую ва­ри­ан­ту со­во­куп­но­сти ум­но­жить или раз­де­лить на од­но и то же по­сто­ян­ное чи­с­ло А, то ди­с­пер­сия умень­шит­ся или уве­ли­чит­ся в А² раз.

Сре­д­нее ква­д­ра­ти­ч­ное от­кло­не­ние. На­ря­ду с ди­с­пер­си­ей ва­ж­ней­шей ха­ра­к­те­ри­сти­кой варь­и­ро­ва­ния яв­ля­ет­ся сре­д­нее ква­д­ра­ти­ч­ное от­кло­не­ние - по­ка­за­тель, пред­ста­в­ля­ю­щий ко­рень ква­д­рат­ный из ди­с­пер­сии.

Эта ве­ли­чи­на в ря­де слу­ча­ев ока­зы­ва­ет­ся бо­лее удоб­ной ха­ра­к­те­ри­сти­кой варь­и­ро­ва­ния чем ди­с­пер­сия, так как вы­ра­жа­ет­ся в тех же еди­ни­цах, что и сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая.

Дата добавления: 2014-01-05