Синтез типовых регуляторов

Корректирующими звеньями

Коррекция времени регулирования

Коррекция по возмущению

Рассмотрим схему на рис. 7.3.

K_K (p)

W ₁(p)₁(p)

W ₂(p)

X (p)

Y (p)

E (p)

Рис. 7.3. Включение корректирующего звена

в дополнительную прямую связь

Корректирующее устройство включается в дополнительную прямую связь. Управляющий сигнал X (p) по этой связи вводится в систему.

Методом обратного движения находим:

.

Откуда

.

Для данной схемы передаточная функция по ошибке имеет вид:

.

Выражение показывает, что если выполнить условие K_k (p) = 1/ W ₂(p), то W _e(p) = 0. Т.е. ошибка устраняется.

На практике применяют как отдельные виды коррекции, так и их сочетание.

Рассмотрим разомкнутую систему с передаточной функцией, имеющей вид типового инерционного звена:

.

Система имеет характеристическое уравнение Тр + 1 = 0, значит, один отрицательный действительный корень р = - 1/ Т. Решением, при нулевых начальных условиях, будет

Принимая порог нечувствительности Δ = 0,05 h (∞), для времени регулирования получаем

. (7.1)

Выполним коррекцию системы с помощью двух корректирующих звеньев по схеме, показанной на рис. 7.4.

K ₂(p)  

W (p)

K ₁(p)

Рис. 7.4. Корреляция времени регулирования двумя

В качестве таковых возьмем усилительные звенья с передаточными функциями K ₁(р) = k ₁, K ₂(р) = k ₂. Одно из них подключается последовательно к системе, другое включается в линию отрицательной обратной связи.

Запишем передаточную функцию скорректированной системы,

.

Обозначив (1 + k ₁ k ₂ k) = A, k k ₂ = B придем к выводу, что пе-редаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

.

Ему отвечает переходная функция

.

(Корень характеристического уравнения действительный: р = – А / Т).

Время регулирования скорректированной системы:

.

Это время регулирования меньше, чем t_{р 1}. Чтобы убедиться, сравним t_{p 2} и t_{p 1} для параметров Т = 1, k = 5, k ₁ = 2, k ₂ = 10. h(∞) = B/А. Δ = 0,05 h (∞) = 0, 025. Отношение времен

.

В данном случае время регулирования после коррекции сократилось в 100 раз.

Типовыми регуляторами называются:

· Пропорциональный (П – регулятор). Его уравнение

y (t) = k _П х (t).

· Пропорциально-интегральный (ПИ – регулятор). Его уравнение

.

· Пропорционально - дифференциальный (ПД – регуля-тор). Его уравнение

.

· Пропорциональный – интегро – дифференциальный (ПИД – регулятор). Его уравнение

.

Постоянные k _П, k _И, k _Д называют передаточными коэффициентами.

Рассмотрим, каким образом могут быть синтезированы типовые регуляторы с помощью типовых звеньев.

П - регулятор. Структурная схема П - регулятора показана на рис. 7.5.

K ₁(р)

K ₂(р)

X (p)

Y (p)

Рис. 7.5. Структурная схема П - регулятора

Звено с передаточной функцией K ₁(р) охватывается отрицательной обратной связью через звено с передаточной функцией K ₂(р). Каждое звено – усилительное: K ₁(р) = k ₁, K ₂(р) = k ₂. Коэффициент усиления звена прямой связи намного больше коэффициента усиления звена обратной связи: k ₁ >> k ₂. При таком условии передаточная функция замкнутой системы равна

.

То есть передаточный коэффициент П - регулятора определяется коэффициентом усиления звена обратной связи.

П - регулятор обладает малым временем регулирования. Однако, имеет большую статическую ошибку, вследствие чего применяется там, где невелики требования к точности регулирования.

ПИ - регулятор. (Часто называют «изодромный регулятор»). Структурно может быть реализован двумя схемами.

Схема 1. Соединяют параллельно усилительное и интегрирующие звенья, рис. 7.6.

Х (р)

Y (p)

K ₁(р)

K ₂(р)

Рис. 7.6. Структурная схема ПИ - регулятора

Передаточная функция ПИ - регулятора получается сложением передаточных функций звеньев:

Передаточная функция ПИ - регулятора имеет два параметра настройки: передаточный коэффициент k _П и передаточный коэффициент k _И = 1/ Т _И, где Т _И – время интегрирования.

Схема 2. Усилительное звено с передаточной функцией K ₁(р) = k ₁ охватывается отрицательной обратной связью через инерционное звено с передаточной функцией K ₂(р) = k ₂/(Т ₂ р +1) и к ним последовательно присоединяется интегрирующее звено с передаточной функцией K ₃(р) = k ₃/ р, рис. 7.7.

K ₁(р)

K ₃(р)

K ₂(р)

Y (p)

Х (р)

Рис. 7.7. Структурная схема ПИ - регулятора

Найдем передаточную функцию регулятора при условии k ₁ >> 1.

.

Полагая k ₃ T ₂/ k ₂ = k _П, k ₃/ k ₂ = k _И, получаем:

.

Вид передаточной функции тот же, что и полученный ранее, но настроечные параметры сами зависят от коэффициентов k ₂, k ₃, T ₂. (Зависимость от коэффициента k ₁ отсутствует).

При очень малом передаточном коэффициенте k _И регулятор работает как усилительное звено. При очень малом передаточном коэффициенте k _П регулятор становится интегрирующим звеном. Пропорциональная составляющая обеспечивает быстродействие, интегральная – точность.

ПД - регулятор. Структурную схему можно было бы получить, соединив параллельно усилительное и идеальное дифференцирующее звено, рис. 7.8.

K ₁(р)

K ₂(р)

Y (p)

Х (р)

Рис. 7.8. Структурная схема ПД - регулятора

Передаточная функция ПД - регулятора, отвечающая схеме на рис. 7.8.

,

где передаточный коэффициент k _Д = Т, постоянной времени дифференцирующего звена.

Однако, идеальное дифференцирующее звено не реализуется. Поэтому составляют эквивалентную схему, охватив отрицательной обратной связью через инерционное звено усилительное звено с большим коэффициентом усиления, рис. 7.9.

K ₁(р)

K ₂(р)

Х (р)

Y (p)

Рис. 7.9. Структурная схема ПД - регулятора

На схеме K ₁(р) = k ₁, K ₂(р) = k ₂/(Т ₂ р + 1).

Передаточная функция регулятора, при условии k ₁ >> 1,

.

Вводя новые обозначения k _П = 1/ k ₂, k _Д = T ₂/ k ₂, находим:

.

То есть схема, не содержащая дифференцирующего звена, работает как ПД - регулятор.

С уменьшением передаточного коэффициента k _П регулятор начинает работать как дифференцирующее звено, с уменьшением передаточного коэффициента k _Д приобретает свойства усилительного звена.

Наличие дифференцирующей составляющей увеличивает быстродействие, снижает динамическую ошибку.

ПИД - регулятор. Синтез можно осуществить несколькими способами. На схеме рис. 7.10 показан один из них.

K ₄(р)

K ₃(р)

K ₁(р)

K ₂(р)

Х (р)

Y (p)

Рис. 7.10. Структурная схема ПИД - регулятора

Звенья с передаточными функциями K ₁(p) = k ₁ и K ₂(p) = 1/ Т ₂ р, соединенные последовательно, охватываются отрицательной обратной связью через звенья K ₃(р) = k ₃ p /(T ₃ p + 1) и K ₄(р) = 1/(Т ₄ р + 1), соединенные тоже последовательно. Передаточная функция получается в виде:

.

Если потребовать k ₁ >> 1, то первым слагаемым в знаменателе можно пренебречь. Полагая (Т ₃ + Т ₄)/ k ₃ = k _П, Т ₃ Т ₄/ k ₃ = k _Д, 1/ k ₃ = k _И, получаем:

.

Структурная схема на рис. 7.10. работает как ПИД - регулятор.

ПИД - регулятор является более универсальным, чем остальные регуляторы. Он позволяет осуществить различные законы регулирования благодаря трем параметрам настройки. Так, при k _Д, k _И = 0 получается П - регулятор. При k _Д = 0 получаем ПИ - регулятор. При k _И = 0 получается ПД - регулятор.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. – СПб, «Профессия», 2004. – 752 с.

2. Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования: Справочное пособие / А.С. Клюев и др. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 368 с.

3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). – М.: Машиностроение, 1977. – 464 с.

4. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица преобразования Лапласа для некоторых функций

№	Оригинал	Изображение

Дата добавления: 2014-01-05