Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции

Задачи проектирования многомерных систем управления

Проектирование многомерных систем управления включает:

формирование математической модели (уравнений) системы; расчет;

анализ; синтез. Чтобы приступить к автоматизированному проектированию, необходимо ввести информацию о системе управления. Обычно при вводе данных задаются коэффициенты уравнений, диапазоны изменения параметров, варьируемые параметры, начальные значения. Если блок управления будет синтезироваться, то задаются параметры объекта управления, его математическая модель и требования к его функционированию.

При расчете многомерных линейных непрерывных систем управления обычно используется матрица передаточных функций, на ее основе получают переходные и импульсно-переходные характеристики, рассчитывают влияние разброса параметров, строят амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, определяют расположение полюсов и нулей передаточных функций. На основе расчета проводится анализ динамических характеристик, и определяются задачи дальнейшего проектирования. Обычно проектирование идет в направлении улучшения свойств системы за счет оптимальной настройки параметров. Если положительного результата добиться не удается, проектирование продолжается в направлении изменения схемы, что обеспечивает синтез. Синтез, как правило, выполняется с применением методов аналитического конструирования регуляторов (синтез структур), либо в направлении синтеза оптимальных управлений.

Отметим, что большую роль в организации автоматического или автоматизированного управления сложными объектами играет статистическая обработка информации, в результате которой должно быть принято определенное решение. При проектировании сложных систем таких как: систем одновременного управления большим количеством объектов, каждый из которых имеет возможность до некоторой степени самостоятельно определять свое поведение и принимать решения, может быть построено только на основе статистических методов.

Преобразование Лапласа связывает функцию F(s) (изображение) комплексной переменной s с соответствующей функцией f(t) (оригиналом) действительной переменной t. Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических целей. Преобразование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения и операции над их изображениями. Подход заключается в преобразовании уравнения, содержащего оригиналы f(t), в эквивалентное уравнение относительно соответствующих изображений Лапласа F(s), где s = s + iw на основе известной формулы преобразования [2]:

Рассмотрим часть основных свойств преобразования Лапласа, знание которых понадобится для работы с математическими моделями САУ:

- дифференцирование оригинала:

- интегрирование оригинала

- линейность

.

Пусть динамика системы управления описывается уравнением вида:

где y(t) - управляемый параметр, g(t) - внешнее воздействие, вызывающее реакцию системы управления. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, то есть до приложения внешнего воздействия система находилась в состоянии равновесия (установившемся состоянии). Применим к обеим частям уравнения динамики преобразование Лапласа, получим:

(bs^n +...+ b) Y (s) = (am s^m +... +ao) G (s).

Проследим связь входных и выходных величин:

.

Введем функцию вида

.

(1.6)

Эта функция является передаточной. Передаточной функцией называется отношение изображений Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция элементов и систем является одной из важнейших характеристик, определяющих динамические свойства. Отметим, что для всех реальных (физически реализуемых) объектов степень полинома числителя передаточной функции не больше степени полинома знаменателя. Аппарат передаточных функций является эффективным при исследовании линейных стационарных систем, имеющих сложные структурные схемы. Обратный переход от изображения к оригиналу может осуществляться на основе обратного преобразования Лапласа, если оно существует. Для рациональных алгебраических функций обратное преобразование существует всегда и для его получения обычно применяется разложение Хевисайда, рассмотрим его. Пусть

A(s) = am s^m+...+ a0, B(s) = bn s^n +...+ b0
представляют собой соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции W (s). Пусть корни полинома знаменателя не кратные, тогда переходную и весовую функции можно представить на основе разложения Хевисайда следующим образом:     .

При кратных корнях полинома знаменателя применяются другие формулы, учитывающие этот факт.

Дата добавления: 2014-01-05