III. Консервативные системы

II. Классификация открытых систем

В открытых системах, т. е. системах, в которых возможен обмен веществом и энергией с окружающей средой, в ходе непрерывного процесса из пространственно-однородного состояния может самопроизвольно сформироваться более сложная пространственная или временная структура (например, колебания концентраций реагентов во времени или неравномерное пространственное распределение концентраций реагентов по длине реактора). Процесс самопроизвольного формирования структуры более сложной, чем первоначальная, называют самоорганизацией.

Как уже было сказано, сложные системы изменяются во времени, т.е. помимо открытости, являются динамическими. В теории динамических систем выделяют 2 класса объектов, демонстрирующих принципиально разные типы поведения – консервативные и диссипативные (см. Рис. 1).

Рис.1 – Классификация динамических систем

В физике под термином «консервативные» понимают такие, которые при учете всех динамических переменных, обеспечивают сохранение энергии. Примерами таких систем могут служить механические системы без трения, допускающие описание в рамках формализма Лагранжа и Гамильтона. Однако, при наличии трения такие системы превращаются в диссипативные.

Для лучшего понимания разделения динамических систем на консервативные и диссипативные рассмотрим систему, представляемую облаком точек в фазовом пространстве (пространстве состояний), которое с течением времени изменяется в соответствии с динамикой входящих в него точек. Если с течением времени каждый элемент этого облака сохраняет свой объем неизменным, то система консервативна. Для диссипативной системы фазовый объем постепенно уменшается, что приводит к тому, что в конце концов облако в пространстве состояний оседает на некоторое подмножество, называемое аттрактором.

Консервативные системы в физике – это системы, при механическом движении которых сумма их кинетической и потенциальной энергий остается неизменной. Также консервативной рассматривается любая механическая система, движущаяся в стационарном (не изменяющемся со временем) потенциальном силовом поле при условии, что система свободна или наложенные на неё связи являются идеальными и не изменяющимися с течением времени. Примером консервативной системы может служить Солнечная система или система, описывающая движение материальной точки в центральном поле.

Как уже было сказано, простейший случай консервативной системы - это гамильтонова система, т.е. система, имеющая вид:

x'=dF/dy
y'=-dF/dx

где F(x,y)-аналитическая функция переменных x и y, называемая гамильтонианом. Система, очевидно, имеет аналитический интеграл F(x,y)=C.

Консервативной системой мы будем называть систему

dx/dt=P(x,y),

dy/dt=Q(x,y),

определенную в некоторой области плоскости G или на всей плоскости, которая после умножения правых частей на интегрирующий множитель M(x,y), являющийся аналитической функцией, не обращающейся в ноль во всей области вышеуказанной системы, и после изменения параметризации может быть приведена к гамильтонову виду

dx/dt1=M(x,y)*P(x,y)=dF/dy
dy/dt1=M(x,y)*Q(x,y)=-dF/dx
dt1=dt/M(x,y)

Любая система может развиваться только за счет внешней среды и поэтому в случае замкнутости системы, она остается самотождественной по внутренним признакам. Консервативные системы не отдают энергии и не получают информацию извне, что позволяет сделать вывод о том, что такие системы в условиях нашего мира исключительно идеальны, т.е. описывают какое-то идеальное событие либо систему, пренебрегая множеством внешних факторов и сил, существующих на планете Земля вне зависимости от желаний человека.

С точки зрения физического смысла, гамильтониан – это такой динамический инвариант консервативной системы, который описывает замкнутость системы.

Дата добавления: 2014-01-05