Деление отрезка в данном отношении

Расстояние между двумя точками на плоскости

Проекции отрезка на координатные оси.

Проекцией направленного отрезка на ось u называется величина отрезка оси u, где – проекция точки А на ось u, – проекция точки В на ту же ось. Проекция отрезка на любую ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Если в декартовой системе координат даны точки то проекции и направленного отрезка на оси координат Ox и Oy вычисляется по формулам

Эти же проекции через длину отрезка d и полярной угол φ выражаются формулами

Из формул (1.16) получаются формулы

определяющие длину отрезка и полярной угол отрезка через его проекции на оси координат.

В прямоугольной декартовой системе координат расстояние между двумя точками и определяется формулой

В частности, расстояние точки от начала координат вычисляется по формуле

Примеры

2. Вычислить периметр треугольника с вершинами в точках

Чтобы найти периметр треугольника, необходимо знать длины его сторон. Вычисляем:

Следовательно,

3. Доказать, что треугольник с вершинами прямоугольный.

Зная длины сторон a,b,c треугольника, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора, можно установить, является ли данный треугольник прямоугольным остроугольным или тупоугольным

Вычисляем длины сторон:

Поскольку то. Следовательно, данный треугольник является прямоугольным.

Отношением, в котором точка M, лежащая на прямой, проходящей через точки и делит отрезок, называется число, определяемое формулой

где – величина направленных отрезков.

Число определено для всех положений точки M на указанной прямой, за исключением случая, когда точка M совпадает с. Число не зависит от выбора положительного направления на прямой, проходящей через заданные точки и от выбора масштаба.

Если точка M принадлежит отрезку, то (точка M делит отрезок внутренним образом); если М находится на продолжении отрезка (или), то (точка М делит отрезок внешним образом).

Декартовы координаты точки делящий отрезок, где в отношении λ, определяются формулами:

Если точка М является серединой отрезка то ее координаты определяются формулами:

Пример..Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей. Найти две другие вершины параллелограмма.

Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, точка N является серединой отрезка и отрезка. Формулы (1.23) принимают вид

откуда

Подставив в последние формулы координаты точек A,B и N, получим Итак, остальные две вершины находятся в точках

Дата добавления: 2014-01-05