Біноміальний розподіл ймовірностей

Тема: Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей

Лекція № 10

План лекції:

1. Біноміальний розподіл ймовірностей.

2. Рівномірний розподіл ймовірностей.

3. Нормальний розподіл ймовірностей.

4. Нормальне наближення.

5. Розподіли, пов’язані з нормальним.

6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин.

7. Оцінки параметрів біноміального розподілу.

8. Оцінки параметрів нормального розподілу.

Припустимо, що проводиться серія незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з однією і тією ж, але невідомою нам ймовірністю. Причому ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними відносно події. Нехай проведено незалежних випробувань. Випадкова величина – число появ події (появу події називають «успіхом») в цій серії випробувань. Можливими значеннями цієї випадкової величини є цілі числа від 0 до. Ймовірності цих можливих значень визначаються за формулою Бернуллі. Закон розподілу такої випадкової величини називається біноміальним.

Означення. Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливими значеннями є числа успіхів в схемі Бернуллі при випробуваннях, а ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі

,

(,).

Закон розподілу:

			...		...
			...		...

Звернемо увагу на те, що сума ймовірностей – це точно біном Ньютона

.

Цей факт і вплинув на назву випадкової величини, яка розглядається. Позначається біноміальний розподіл так:, де і – параметри біноміального розподілу.

Функція розподілу:

Числові характеристики:

,,,.

Найімовірніше значення випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом задовольняє нерівність:

.

Приклад. На заліку студент отримав 4 задачі. Ймовірність правильно розв’язати кожну задачу. Випадкова величина – число правильно розв’язаних задач.

а) Знайти закон розподілу випадкової величини;

б) побудувати функцію розподілу випадкової величини та її графік.

в) Знайти,,.

Розв’язання. а) Можливі значення випадкової величини: 0,1,2,3,4. Оскільки можливими значеннями випадкової величини є числа успіхів в схемі Бернуллі при 4 випробуваннях, то їх ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі:

,,.

;

;

;

;

.

Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці:

	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Перевірка умови нормування:

0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1.

Отже, випадкова величина має біноміальний розподіл.

б) Функція розподілу випадкової величини за означенням:

Компактно можна записати в такій формі:

Графік функції зображено на малюнку:

к

0,5

0,1

в) Знайдемо,,.

;

;

.

Дата добавления: 2014-01-05