Оцінки параметрів біноміального розподілу

У цього розподілу два параметри: (число випробувань) і (ймовірність успіху в одному випробуванні). Часто зустрічається ситуація, коли відоме, а невідоме, тобто відоме число випробувань, але не відома ймовірність успіху в одному випробуванні.

Для цього розподілу

Точковою оцінкою параметра є

.

Особливо важливий окремий випадок, коли, в цьому випадку отримуємо. Коли, або (успіх або невдача), тому дорівнюватиме числу успіхів. Якщо позначити цю суму або число успіхів через, отримаємо:

.

Оцінка є незміщеною оцінкою параметра.

Приклад. Спортсмен вистрілив у ціль 20 разів, а влучив 15 разів. Визначити ймовірність влучення при одному пострілі.

Розв’язання:.

Знайдемо довірчий інтервал, який покриває невідомий параметр з надійністю. Відомо, що біноміальний розподіл може бути наближений за допомогою нормального розподілу. Якщо оцінювана ймовірність не дуже мала і не дуже велика (), то можна вважати, що розподіл випадкової величини близький до нормального. Цим допущенням можна користуватися, якщо і більше 4. Виберемо при заданій надійності числа, (нижню і верхню межу довірчого інтервала) так, щоб виконувалися нерівності і. Тоді ймовірність попадання значення в інтервал (,) буде дорівнювати. Для практичного знаходження довірчих інтервалів з надійністю і при від 1 до 30, а також при і можна скористатися наперед складеними таблицями, які можна знайти в довідниках з математичної статистики.

При великих об'ємах вибірки можна обійтися наближеною побудовою довірчого інтервалу. Скористаємося формулою ймовірності відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

.

Позначимо і, за допомогою таблиці значень функції Лапласа, розв’яжемо рівняння. З набутого значення знайдемо. Тоді,. Щоб отримати довірчий інтервал, треба виконати ще ряд перетворень, в результаті чого при великому об'ємі вибірки наближене значення для довірчого інтервалу має вид.

.

Приклад. При 20 пострілах спортсмен влучив у ціль 15 разів. Із надійністю побудувати довірчий інтервал довірчий інтервал для ймовірності влучення при одному пострілі.

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати:,,. З умови задачі маємо:. Точкова оцінка ймовірності влучення знайдена в попередньому прикладі і дорівнює

.

Величина обчислюється з рівняння

.

за таблицею значень функції Лапласа.

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:

;

.

Таким чином, маємо:

.

Отже, з надійністю 0,95 (95% гарантії) інтервал покриває оцінюваний параметр.

Дата добавления: 2014-01-05