КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Условие монотонности функции
Формула Тейлора для четных и нечетных функций Теорема 1. Если функция f (x) четна и существует f (2 n+ 1)(0), то имеет место следующее разложение этой функции . Если функция f (x) нечетна и существует f (2 n +2)(0), то имеет место следующее разложение этой функции . Теорема 2. Если функция f (x) четна и существует f (2 n+ 2)(x) в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство , где xÎ(0 ,x) или xÎ(x, 0). Если функция f (x) нечетна и существует f (2 n+ 3)(xi в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство , где xÎ(0, x) или xÎ(x,0). Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке f (2 k+ 1)(0) = 0, если f (x) четна. Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2 n +1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и f (2 k)(0) = 0, если f (x) нечетна. В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2 n+ 2 включительно. 4.6 Исследования характера поведения функций Исследование функций. Монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, асимптоты. Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [ a,b ] и дифференцированная на (a,b) функция f (x) была постоянной на [ a,b ] н. и д., чтобы f¢ (x)º0 на (a,b). См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях. Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [ a,b ], дифференцируемая на (a,b) функция f (x) была не убывающей (не возрастающей) на [ a,b ] н. и д., чтобы f¢ (x)³0 (f¢(x) £0) на (a,b). Доказательство. Необходимость далее к перейти пределу. Достаточность. Если x¢ < x¢¢, то по теореме Лагранжа f (x¢¢) - f (x¢) =f¢ (x)(x¢¢- x¢) откуда и следует требуемая монотонность. Пример. Оценить погрешность приближения функции sin x многочленом третьей степени на отрезке [0, p/2]. Рассмотрим функцию f (x) = sin x – x +x 3/6. Имеем f¢ (x) = cos x – 1 + x 2/2 и далее ³ - 2, на [0, p /2]. Отсюда следует, что функция f (x) монотонно возрастает на указанном отрезке и, таким образом, достигает максимума в точке p /2. max | sin x – x +x 3/6 |= 1 - p/2 + p3/48»0.075. Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [ a,b ], дифференцируемая на (a,b) функция f (x) была строго монотонно возрастающей (убывающей) на [ a,b ] н. и д., чтобы f¢ (x)³0 (f¢ (x)£0) на (a,b) и чтобы не существовало промежутка [a,b]Ì[ a,b ], на котором f¢ (x)º0. Утверждение теоремы является непосредственным следствием теоремы 2. Следствие. Для непрерывной на [ a,b ], дифференцируемой на (a,b) функции f (x) условие f¢ (x)>0 (f¢ (x)<0) на (a,b) влечет строгое монотонное возрастание (убывание). Пример. Доказать, что для любого n функция fn (x) =x (p /2-arctg nx) строго монотонно возрастает на [0, +¥) и. f¢n(x) = - arctg nx – = - g(nx), где g (u) = arctg u +. Имеем g¢ (u)=. g (0)=0, g (+ ¥)=p/2. Таким образом, g (nx) < p/2 и, следовательно, f¢n (x) = - g (nx) > 0. Отсюда следует, что Для вычисления последнего предела воспользуемся правилом Лопиталя
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 633; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |