Уравнение прямой через угловой коэффициент

Прямая линия на плоскости.

Деление отрезка в данном отношении.

.

Расстояние между двумя точками на плоскости.

Полярная система координат.

Системы координат на плоскости.

Декартова система координат.

Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось (ось ординат); горизонтальная – ось (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка на плоскости определяется двумя числами, (рис. 1), называемыми координатами. Точки и расположены на плоскости в соответствии с своими координатами.

Полярная система координат состоит из точки которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси Тогда положение любой точки определяется расстоянием от неё до полюса и угла между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (рис. 2). Так точка в полярной системе координат имеет положение, указанное на рис. 3.

Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах (рис. 4). Так, если точка имеет в декартовой системе координаты, а в полярной –, то,. Отсюда следует и обратное выражение,.

Пусть в декартовой системе координат даны две точки и (рис. 5). Тогда расстояние можно найти из прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора

Отсюда

Пример 1. Даны точка и точка Найти расстояние между ними.

Решение. По формуле расстояния между двумя точками имеем

Пусть в декартовой системе координат даны две точки - и (рис. 6). Требуется на отрезке найти координаты точки, такой, что. Для решения этой задачи через точку проведем прямые и. Тогда для угла по теореме Фалеса
или

Отсюда

=λ λ = + λ или +

и окончательно

Рассуждая аналогично, можно найти и координату точки по оси,

Пример 2. Даны точки и. Требуется найти координаты середины отрезка.

Решение. В нашем случае (рис. 7) Поэтому     Ответ: Искомая точка имеет координаты.

Рассмотрим прямую линию в декартовой системе координат. Проходящую через точку под углом с положительным направлением оси. Возьмем на ней некоторую точку с произвольными координатами. Проведем через точку прямую. Тогда из прямоугольного треугольника получим
Так как

или Величина

обозначается через и называется угловым коэффициентом прямой. Таким образом, уравнение прямой линии в декартовой системе координат через угловой коэффициент имеет вид

Пример 3. Построить график прямой

Решение. Так как и значение, то искомая прямая пересекает ось в точке под углом к оси (рис. 9).

Замечание. Если, то уравнение прямой имеет вид и график проходит через начало координат.

Пример 4. Построить график прямой.

Решение. Так как прямая линия однозначно определяется двумя своими различными точками, то определим координаты этих точек из уравнения прямой. Положим, тогда. Одна точка (точка) имеет координаты. Пусть теперь, тогда и. Вторая точка (точка) имеет координаты. Тогда искомая прямая проходит через точки и (рис.10).

Дата добавления: 2014-01-05