План лекції. Законспектуйте для Вас нову інформацію

Законспектуйте для Вас нову інформацію. Ті, хто був відсутній взагалі – усе найголовніше!

Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах.

Общее уравнение прямой.

Условие перпендикулярности двух прямых.

Если две прямые и взаимно перпендикулярны (рис. 19), то угол между ними равен и не существует. А так как
и дробь

не существует тогда и только тогда, когда её знаменатель равен нулю, т.е. тогда, когда выполняется равенство. Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Выразив один угловой коэффициент через другой, получим

Пример 9. Прямые

перпендикулярны, так как

Уравнение вида называется общим уравнением прямой.

а) Если, то уравнение будет иметь вид. Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты удовлетворяют этому уравнению.

б) Если, то уравнение примет вид или

Уравнение не содержит переменной, а определяемая этим уравнением прямая, параллельна оси.

в) Если, то уравнение примет вид, откуда

- уравнение прямой через угловой коэффициент.

Пусть дана система полярных координат с полюсом в точке и прямая, проходящая на расстоянии от полюса (рис. 20). Выберем на прямой произвольную точку с текущими координатами. Тогда из прямоугольного треугольника получим равенство или ввиду четности функции косинуса

Это и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Так как уравнение прямой в полярных координатах имеет вид

где - расстояние от полюса до прямой, то разложив косинус, получим

Учитывая формулы перехода от полярных координат к декартовым,, получим уравнение прямой в виде

которое и называется нормальным (рис. 21).

Замечание. Чтобы общее уравнение прямой записать в нормальном виде необходимо его разделить на выражение. Тогда оно примет вид

Заменив

получим уравнение в нормальном виде.

Пример 10. Записать уравнение прямой в нормальном виде.

Решение. Запишем уравнение в общем виде, перенеся все слагаемые в одну сторону. Разделим обе части уравнения на выражение. Получим

Так как

то это и есть нормальное уравнение прямой.

Пусть дано общее уравнение прямой и дана точка, не лежащая на прямой. Требуется определить расстояние от точки до этой прямой (рис. 22).

Нормальное уравнение прямой имеет вид

Здесь означает расстояние от полюса до прямой. Отсюда

Переместим полюс в точку. Тогда

Или

А так как, то окончательно получаем

Пример 11. Найти расстояние от точки до прямой

Решение. По формуле расстояния от точки до прямой имеем

Предмет і теоретичні основи курсу «Історія української культури»

Дата добавления: 2014-01-05