Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным

Решение

Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным

зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ на

стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на

стержне не является точечным, поэтому закон Кулона

непосредственно применять нельзя. В этом случае можно

поступить следующим образом. Выделим на стержне малый

участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда,

согласно закону Кулона,

1

2

0 4

dF Q dr

r





.

Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l, получаем

1 1 1

2

0 0 0

1 1

4 4 4 ()

a l

a

F Q dr Q Q l

r a a l a a l

  

  

             ,

откуда

0

1

4 a(a l)F

Q l







.

Произведём вычисления:

dr r

l a

Q1

32

  2,5109Кл / м  2,5нКл / м.

Пример 3. Два точечных электрических заряда Q1=1нКл и

Q2=-2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от

друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля,

создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда

Q1 на расстоянии r1= 9 см и от заряда Q2 на r2= 7 см.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей,

каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в

пространстве других зарядов. Напряжённость Е



электростати-

ческого поля в искомой точке может быть найдена как

геометрическая сумма напряжённостей 1 Е



и 2 Е



полей, создава-

емых каждым зарядом в отдельности: 1 2 Е  Е  Е

  

.

Напряжённости электростатического поля, создаваемого

в воздухе (ε = 1) зарядами Q1 и Q2,

1

1 2

0 1 4

Q

Е

 r

, (1)

2

2 2

0 2 4

Q

Е

 r

. (2)

Вектор 1 Е



направлен по силовой линии от заряда Q1,

так как этот заряд положителен, вектор 2 Е



направлен также по

силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора Е



найдём по теореме косинусов:

2 2

1 2 1 2 E  E  E  2E E cos, (3)

где α – угол между векторами 1 Е



и 2 Е



, который может быть

найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d

2 2 2

1 2

1 2

cos

2

d r r

r r



 

.

1 E



E 

α

π-α

А

33

Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3), получим

2 2

1 2 1 2

4 4 2 2

0 1 2 1 2

1 2 cos

4

Q Q Q Q Е

r r r r





  . (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электри-

ческих полей потенциал φ результирующего поля, равен

алгебраической сумме потенциалов

1 2   . (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме

точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается

формулой

0 4

Q

r





. (6)

Согласно формулам (5) и (6) получим

1 2

0 1 0 2 4 4

Q Q

r r



 

 ,

или

1 2

0 1 2

1

4

Q Q

r r





 

   

 

.

Произведём вычисления:

34

Е = 3,58 В/м, φ = - 157 В.

Пример 4. Электрическое поле создано двумя парал-

лельными бесконечными заряженными плоскостями с поверх-

ностными плотностями заряда σ1=0,4мкКл/м2 и σ2=0,1мкКл/м2.

Определить напряжённость электрического поля, созданного

этими заряженными плоскостями.

Согласно принципа супер-

позиции электростатических

полей,

E  E1  E2

  

,

где, 1 1 0 2 2 0 E  2 и E  2

 

-

напряженности электростатиче-

ских полей, создаваемых первой

и второй плоскостями соответст-

венно.

Плоскости делят всё прост-

ранство на три области: I, II, III.

Как видно из рисунка, в первой и

третьей областях электрические

силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и

следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в

первой и третьей областях равны между собой, противо-

положно направлены и равны сумме напряжённостей полей,

создаваемых первой и второй плоскостями:

() ()

1 2

E I  E III  E  E или

I II III

σ1 σ2

1 E



2 E



35

() () 1 2

0

()

2

E I E III  





 .

Во второй области (между плоскостями) электрические

силовые линии направлены в противоположные стороны и,

следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности

напряжённостей полей, создаваемых первой и второй

плоскостями: ()

1 2

E II  E  E, или

() 1 2

0

()

2

E II  





.

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E(I)  E(III)  28,3кВ/ м, E(II)  17кВ / м.

Пример 5. Две концентрические проводящие сферы

радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды

Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в

точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см,

r2 =9 см, r3 = 15 см. Построить график Е(r).

Рис.1

Дата добавления: 2014-01-05