МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.». Змістовний модуль 2.1. «Поняття.»

Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».

ПЛАН.

1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.

2. Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).

3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.

1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.

1. Як в школі, так і в інституті, доводиться вивчати навчальні предмети. Основними структурними компонентами будь-якого навчального предмету є такі: 1) основи, під якими розуміють вихідні наукові положення, на яких ґрунтується навчальний предмет (число, функція); 2) поняття та їх системи, відношення між ними; 3) ідеї, які виражені в навчальному тексті, в історичних фактах, задачах; 4) методи, за допомогою яких досліджується, пізнається, засвоюється учнями навчальний предмет.

Поняття – це форма мислення, яка відображає предмети і явища в їх істотних ознаках. Під ознакою поняття розуміють те, в чому предмети або явища схожі один з одним, або чим вони один від одного відрізняються. Ознаку предмета чи явища складають будь-які сторони, стани, які характеризують предмет, виділяючи його серед інших, допомагаючи розпізнавати його серед інших. Отже, ознаками поняття можуть бути властивості як наявні, так і відсутні. Кожен предмет чи явище може мати множину ознак. Всі ознаки будь-якого поняття можна поділити на такі групи: 1) одиничні або індивідуальні ознаки, які характеризують саме даний предмет, наприклад, стіл може бути білим або круглим; 2) загальні ознаки, які належать певній групі предметів, наприклад, столи можуть бути дерев’яними або скляними, або пластмасовими, або чорними; 3) істотні ознаки, які з необхідністю належать цьому поняттю, виражають його внутрішню природу, його суть, і без наявності яких поняття перестає бути цим поняттям, наприклад, стіл не існує без кришки, без двох ніжок, а трикутник не існує без трьох кутів, трьох сторін, трьох вершин; 4) неістотні ознаки, які можуть належати або не належати даному поняттю, і які не виражають суті цього поняття, наприклад, немає значення, чи стіл пластмасовий, чи залізний. Вирішальне значення для будь-якого поняття мають саме істотні ознаки. Саме тому, навчаючи дітей, потрібно формувати в них саме істотні ознаки поняття, які можуть бути як загальними, так і одиничними.

Як відомо, формами чуттєвого пізнання є сприймання та уявлення. Поняття відрізняється від форм чуттєвого пізнання тим, що сприймання та уявлення існують у свідомості людини у вигляді наочних образів окремих предметів, а поняття позбавлені наочності. Отже, поняття – це форма наукового пізнання, що відбиває істотне у виучуваних об’єктах та явищах і закріплюється спеціальними термінами (словами). Наприклад: “дерево”, “коло”, “трикутник” тощо. У математиці досить часто поняття позначаються не тільки термінами, але й спеціальними значками, наприклад: функція - ¦, трикутник - ∆, не дорівнює - ≠, дорівнює - ═, менше або дорівнює - ≤, більше або дорівнює - ≥, інтеграл - ∫, відсотки - % тощо. Таким чином, відображаючи істотне, поняття, з одного боку, не містять всього багатства індивідуальних ознак, а тому в порівнянні з формами чуттєвого пізнання, вони далі відстоять від дійсності (дерево – високе і низьке). З іншого боку, поняття ближче до дійсності, бо воно дозволяє глибше проникати в сутність оточуючої дійсності.

Досвід розвитку людства показав, що для утворення поняття необхідно виділити його істотні ознаки, але вони не лежать на поверхні. Саме тому поняття в історії людства формується протягом значного проміжку часу. В науці для утворення поняття використовують логічні прийоми: порівняння, аналіз, синтез, абстрагування, узагальнення, конкретизація, аналогії. Будь-яке поняття пов’язане із змістом та обсягом.

Означення: змістом поняття називається множина його істотних ознак, які мають всі елементи множини предметів, що належать до цього поняття.

Наприклад, змістом поняття “трикутник” є множина, яка складається з трьох елементів: мати три кути, мати три сторони, мати три вершини.

Означення: обсягом поняття називають множину предметів, яка характеризується цим поняттям.

Наприклад, обсягом поняття “трикутник” є множина всіх трикутників.

Виявляється, що між змістом і обсягом поняття існує взаємозв’язок. Збільшення обсягу поняття веде до зменшення його змісту, а збільшення змісту поняття веде до зменшення його обсягу. Проілюструємо цей зв'язок на прикладі поняття «паралелограм». Як відомо, паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Змістом цього поняття є такі істотні ознаки: а) бути чотирикутником; б) мати паралельні протилежні сторони. Обсягом цього поняття є множина всіх паралелограмів. Якщо ми збільшимо зміст цього поняття, тобто додамо ще одну істотну ознаку (наприклад, мати всі рівні сторони), то при цьому обсяг поняття зменшиться і буде складати множину ромбів. Якщо ми додамо ще одну ознаку (наприклад, мати прямий кут), то обсяг ще зменшиться і буде являти множину квадратів.

Якщо ж розширювати обсяг поняття, то це призведе до зменшення змісту. Так, наприклад, якщо відкинути вимоги мати три рівні сторони у множині трикутників, тобто зменшити зміст, то ми отримаємо множину рівнобедрених трикутників, яка включає в себе множину рівносторонніх трикутників. Таким чином, зміст та обсяг поняття пов’язані між собою законом обернено пропорційного відношення: збільшення обсягу веде до зменшення змісту і, навпаки, зменшення обсягу веде до збільшення змісту.

Поняття можуть мати деякі спільні ознаки, що дозволяє співставляти одні поняття з іншими. В цьому випадку поняття називають порівнюваними. Порівнювані поняття можна знайти в логічних відношеннях. Виділяють, по-перше, відношення тотожності, коли обсяги понять співпадають, але вони мають різні змісти, наприклад, квадрат – це прямокутник, у якого сторони рівні та квадрат – це ромб, у якого один кут прямий. Обсягом обох цих понять є множина квадратів, а змістом в першому випадку є такі ознаки: бути прямокутником і мати всі рівні сторони, у другому випадку змістом поняття квадрат є вже такі ознаки: бути ромбом і мати прямий кут.

Наступним відношенням, в яких можуть бути поняття, є відношення часткового збігу або перетину, яке характеризується тим, що частина обсягу одного поняття є частиною обсягу іншого поняття і, навпаки. Так у відношеннях часткового збігу знаходяться поняття прямокутника і ромба (див. наступну діаграму № 2.1.).

Дата добавления: 2014-01-05