Аксіоми. Теореми. Ознаки

Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).

Діаграма № 2.2. Відношення підпорядкування між поняттями.

2. У багатьох науках, зокрема в математиці, створення нового поняття розпочинається чи завершується введенням його означення. Означення - це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Означення поняття дає можливість розпізнавати даний об’єкт чи явище та відносити чи не відносити його до даного поняття. В науці існують різні види та способи означення понять, серед яких можна виділити принаймні наступні:

1) явні означення, які мають форму рівності або співпадання двох понять, наприклад: квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні, або ромб, у якого всі кути прямі;

б) неявні означення, які не мають форми співпадання двох понять, наприклад: коло – це межа круга;

в) генетичні означення, які розкривають способи побудови або утворення поняття, наприклад: циліндром називається геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін;

г) індуктивні (рекурентні) означення, наприклад: арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, більший від попереднього на одне й теж саме, стале для даної послідовності, число;

д) означення через абстракцію, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. При таких означеннях використовується поняття розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються, та перехід від даної множини Х до фактор-множини. Прикладом такого означення є означення натурального числа в теоретико-множинній або кількісні теорії: натуральним числом називається спільна властивість класу скінченних еквівалентних між собою множин.

У курсі математики початкової школи зустрічаються, в основному, неявні означення, серед яких можна виділити такі:

1) контекстуальні означення, в яких зміст нового поняття розкривається за допомогою частини тексту, тобто через контекст, через аналіз конкретної ситуації, що описує зміст поняття, що вводиться. Наприклад: 3+х=9. 2, 3, 6, 7, х – невідоме число, яке потрібно знайти. Яке з цих чисел потрібно підставити замість х, щоб рівність була правильною? Це число 6. В цьому контексті неявно формується поняття рівняння та його кореня;

2) остенсивні означення, які використовуються для введення термінів шляхом демонстрації об’єктів, які цим терміном позначаються. Наприклад: 9•4=36, 2•8=16 – це рівності.

Слід відзначити, що до означення понять ставлять певні вимоги, серед яких назвемо найважливіші:

1) означувані поняття та поняття, через які вони означаються, повинні бути сумірними, тобто обсяг означуваних понять повинен бути частиною обсягу поняття, через яке воно означається: поняття повинні знаходитися у відношенні часткового збігу або підпорядкування;

2) означення не повинні містити зачарованого кола, коли поняття визначається через саме себе, наприклад: маслом називається масло, паралелограмом називається такий паралелограм …;

3) в означенні слід вказати всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об’єкти, що належать цьому поняттю;

4) в змісті поняття не повинно знаходитись надлишкових ознак. Так, наприклад, у школі прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі. Вимога всі кути прямі є надлишковою, бо достатньо вказати, що прямокутником називають паралелограм, у якого один кут прямий. Адже тоді можна було б довести, що всі кути прямокутника прямі.

Одним із видів явних означень є так зване означення через найближчий рід та видову відмінність. У такому означенні ототожнюється два поняття: 1) це означуване поняття; 2) – це поняття, через яке воно означається. Наприклад: ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. В цьому означенні ототожнюється поняття ромба і паралелограма, у якого всі сторони рівні. Якщо розглянути структуру цього означення, то вона складається з таких структурних елементів: по-перше, з означуваного поняття, тобто ромба; по-друге, вказується поняття, яке називають визначальним або родовим поняттям, тобто паралелограм; по-третє, вказується властивість, яка відрізняє нове поняття від визначального, тобто властивість “мати рівні сторони”. Поняття паралелограма є родовим поняттям по відношенню до поняття “ромб“. Властивість “мати рівні сторони“ є видовою ознакою, а поняття “ромб“ є видовим поняттям. Структуру такого означення можна представити у вигляді схеми (див. схему № 2.1.).

3. У математиці доволі часто доводиться формулювати, а потім і доводити, певні твердження. Серед них виділяють принаймні дві групи тверджень. До першої відносять аксіоми, під якими розуміють твердження, справедливість яких приймається без доведення. Як правило, аксіоми використовуються при побудові математичних теорій. При цьому використовують не одну, а цілу систему аксіом, яка повинна задовольняти певні вимоги (повнота, несуперечливість, незалежність). Більш детально з аксіомами та вимогами до системи аксіом ми будемо знайомитися при подальшому вивченні курсу математики у внз. Так, із шкільного курсу геометрії відомо про систему аксіом геометрії, яка містить п’ять груп аксіом. Не можна стверджувати, що аксіоми не потребують доведення в силу своєї очевидності. Наприклад, історія розвитку геометрії дає підстави твердити, що протягом кількох століть вчені не припиняли спроб довести аксіому паралельності, тобто її істинність була далеко неочевидною. Так само, далеко неочевидними є значна частина аксіом, які використовуються при побудові інших математичних теорій. Таким чином, аксіома – це твердження, яке приймається без доведення, але його справедливість перевірена багатовіковим досвідом людства, причому воно весь час виявлялося істинним.

  Видова відмінність (мати рівні сторони)

  Паралелограм (родове поняття)

Означуване поняття (ромб) видове поняття

= +

ромб

Схема № 2.1. Структура означення через найближчий рід та видову відмінність.

Другу групу складають твердження, які прийнято називати теоремами. Кожна теорема потребує доведення. Існують різні види теорем. Так, теореми існування доводяться для того, щоб показати, що певний математичний об’єкт існує. Теореми єдиності засвідчують однозначність того чи іншого математичного об’єкту, наприклад теореми про єдиність (однозначність) арифметичних операцій, без яких не можна було одержувати однакові результати цих операцій. Теореми, які називають ознаками, дають можливість відносити той чи інший об’єкт до певного класу або робити висновки, не виконуючи певних дій. Так, наприклад, говорять про ознаки паралельності прямих, про ознаки паралелограма, про ознаки подільності чисел тощо.

Дата добавления: 2014-01-05