Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо)

Читайте также:
  1. B) Метод калькуляции затрат, связанных с процессами
  2. I. Методы коммутации.
  3. II. 1 Выбор методов проведения маркетинговых исследований
  4. II. Метод расходных ставок
  5. II. Методология теории государства и права.
  6. III. Методы финансирования инвестиционного проекта
  7. III. Особенности методики идентификации исполнителя
  8. IV. Метод коэффициентов влияния
  9. Simplex метод
  10. VI. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
  11. Автоматизированные методы
  12. Адаптивные методы прогнозирования используются



2. Спочатку зазначимо, що довести теорему – це означає встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А(х) буде виконуватись і властивість В(х). Доведення теорем в математиці проводиться за правилом логіки без будь-яких посилань на наочність та досвід. У математиці існують різні способи доведення теорем, які класифікують по-різному. Серед різних способів доведення теорем зупинимося на характеристиці тих, які найчастіше зустрічаються в шкільному курсі математики. У першу чергу вкажемо на дедуктивний спосіб доведення теорем, сутність якого полягає в тому, що виходячи з умови теореми і використовуючи доведені раніше теореми, ми будуємо ланцюжок міркувань, який дозволяє нам переконатися в справедливості висновків теорем. Покажемо це на прикладі такої теореми «Сума внутрішніх кутів довільного трикутника дорівнює 180°».

Доведення: беремо довільний трикутник (див. малюнок № 2.1.) і проводимо через його вершину пряму, паралельну протилежній стороні (це можна зробити, оскільки доведено, що через точку, поза прямою можна провести пряму, паралельну даній). <1+<2+<3=180°, як сума кутів, які утворюють розгорнутий кут. <1=<4 – як внутрішні різносторонні при паралельних прямих та січній. Аналогічно <3=<5. Тоді рівність <1+<2+<3=180° перетвориться у рівність <4+<2+<5=180°. Отже, сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. Теорему доведено.

Сутність індуктивних доведень полягає в тому, що на основі розглянутих кількох окремих випадків ми робимо загальний висновок. Для того, щоб не розглядати всі часткові випадки, в математиці є метод доведення, який називається методом математичної індукції. Він складається з таких етапів: а) перевіряємо твердження для n=1; б) припускаємо істинність твердження при n=k; в) виходячи з припущення пробуємо довести істинність твердження при n=k+1. Тоді дане твердження буде справедливим для будь-якого натурального числа. Проілюструємо сказане на такому прикладі: довести, що добуток двох послідовних натуральних чисел ділиться націло на 2.

Доведення:

1. Перевіримо справедливість твердження для будь-якої пари послідовних натуральних чисел. Дійсно, добуток 1•2=2, а 2 кратне 2. Отже, для n=1 і n=2 твердження справедливе.

2. Припустимо, що твердження справедливе для будь-якої пари послідовних натуральних чисел n і n+1, тобто n(n+1)2.

3. Спробуємо довести справедливість твердження для n=k+1. Утворимо добуток (n+1)(n+2) і розкриємо другу дужку. Отримуємо (n+1)n+2(n+1). У цій сумі перший доданок (n+1)n ділиться націло на 2 згідно припущення, а другий доданок 2(n+1) ділиться націло на 2 згідно теореми про подільність добутку. Таким чином, кожен доданок суми ділиться на 2, а тому і сума (n+1)n+2(n+1)=(n+1)(n+2) поділиться націло на 2. Отже, теорему доведено.



 
 

 

 


Малюнок № 2.1.

 

Наступним способом доведень є спосіб доведення від супротивного, сутність якого полягає в тому, що ми заперечуємо висновок теореми і пробуємо це довести. В результаті ми приходимо до суперечності із умовою теореми або з доведеним раніше твердженням. Найбільш часто цей спосіб доведення використовують при доведенні теорем єдиності. Покажемо це на такому прикладі: якщо різниця двох дійсних чисел існує, то вона єдина.

Доведення: нехай нам дано два дійсних числа а,вєR. Згідно означення різниці число а-в=сєR. Припустимо, що різниця двох дійсних чисел не єдина. Нехай існують дві різних різниці, тобто: а-b=с1 і а-b=с2, причому с1≠с2. Звідси маємо а=b+с1 і а=b+с2, тобто b+с1=b+с2, а тепер с12, що суперечить вибору чисел с1 і с2. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина. Теорему доведено.





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1169; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.132.10
Генерация страницы за: 0.01 сек.