Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій

ПЛАН.

МОДУЛЬ У. «РОЗШИРЕННЯ ПОНЯТТЯ ПРО ЧИСЛО».

Змістовний модуль 5.1. «Цілі числа.».

1. Задача розширення поняття про число. Необхідність розширення множини натуральних чисел.

2. Побудова множини цілих чисел. Зображення цілих чисел на числовій прямій.

3. Властивості множини цілих чисел.

4. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – с. 172-238; [2] – с. 193-246, 325-340; [3] – с. 181-196.

1. Задача розширення поняття про число. Необхідність розширення множини натуральних чисел.

1. Розглянувши три теорії цілих невід’ємних чисел, можна твердити, що натуральні числа виникли з потреб практики (необхідність проведення лічби) та з потреб математики (для характеристики потужності скінченної множини). Подальший розвиток математики та людства переконливо довів, що натуральних чисел недостатньо ні для потреб практичної діяльності людини, ні для потреб математики. Зокрема, натуральних чисел виявилося недостатньо для вимірювання величин, що змінюються у двох протилежних напрямках (температура, тиск тощо), а також для розв’язування рівнянь виду а+х=b, наприклад 14+х=9. Також натуральних чисел виявилося недостатньо для виконання дій віднімання, наприклад 8-12, та ділення, наприклад, 12:5. Саме тому постає завдання розширити множину натуральних чисел.

У чому ж сутність задачі розширення поняття числа? – по-перше, до старої числової системи слід приєднати числа, яких не було в ній; по-друге, поширити основні операції старої числової системи на нові числа; по-третє, поширити основні властивості операцій над числами старої числової системи на нові числа; по-четверте, досягти виконуваності якоїсь операції, яка у попередній числовій системі виконувалася не завжди. Враховуючи сказане, можна розкрити сутність задачі розширення множини натуральних чисел. У першу чергу до множини натуральних чисел приєднаємо число нуль та числа, протилежні натуральним. По-друге слід сформулювати означення операцій над такими числами так, щоб вони не суперечили раніше прийнятим означенням операцій додавання, віднімання, множення і ділення. Потім необхідно поширити властивості комутативності, асоціативності та дистрибутивності на числа, протилежні натуральним, тобто на від’ємні числа. І, нарешті, добитися виконуваності операції віднімання для будь-яких чисел нової числової системи.

2. Отже, для розширення множини натуральних чисел відповідно до сформульованих вимог приєднаємо до множини N-чисел число 0 (нуль) і числа, протилежні натуральним, тобто від’ємні числа. Перед тим, як будувати множину нових чисел, приймемо наступні означення.

Означення: числа а і –а називаються протилежними, якщо а+(-а)=0 або –(-а)=а.

Означення: від’ємним цілим числом називається число виду –а, де аєN.

Виходячи з наведених означень, можна зробити наступні висновки: 1) натуральні числа можна називати додатними цілими числами, позначаючи їх Z₊; 2) множину від’ємних цілих чисел слід позначати Z_-; 3) множини Z₊ і Z_- еквівалентні, тобто Z₊~Z_-. Легко бачити, що Z₊ÇZ_-=Ø, Z₊Ç{0}=Ø і Z_-Ç{0}=Ø. Таким чином, можна прийняти таке означення.

Означення: множиною цілих чисел називається об’єднання множини натуральних чисел (Z₊), чисел, протилежних їм (Z_-), та числа 0 (нуль), тобто Z=Z₊ÈZ_-È{0}.

Означення: два цілих числа називаються числами одного і того ж самого знаку, якщо вони обидва або додатні, або від’ємні. Два цілих числа називаються числами різних знаків, якщо одне з них додатне, а друге - від’ємне.

Означення: модулем або абсолютною величиною цілого числа (символічно │а│) називається таке число, що виконуються умови: 1) │а│=а, якщо а≥0; 2) │а│=- а, якщо а<0.

Означення: пряму р з вибраними на ній точкою О – початком відліку, точкою А₁ – одиничною точкою і додатнім напрямком від точки О до точки А₁, називають числовою чи координатною прямою.

Ввівши поняття числової прямої, ми можемо зобразити будь-яке ціле число точкою цієї прямої. Справа в дужках біля назви точки пишуть число, яке називають координатою точки і яке показує, на якій відстані від початку відліку, тобто від точки О, знаходиться дана точка. Точки, що мають додатні координати зображають справа від початку відліку, а точки з від’ємними координатами – зліва. На наступному малюнку № 5.1 зображено точки А(4) і В(-6).

В(-6) 0 А(4)

Дата добавления: 2014-01-05