Метод переходных интенсивностей

Метод переходных интенсивностей значительно упрощается если время безотказной работы T и восстановления T_В описываются экспоненциальными зависимостями, а отказы объектов ординарны и не обладают последствием (марковские процессы). Надежность марковских объектов со счетным множеством состояний и непрерывным временем описываются линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для получения системы дифференциальных уравнений удобно предварительно изобразить ориентированный граф состояний объекта, для чего составляют перечень возможных состояний H_i объекта. Каждому состоянию соответствует вершина (узел) графа, ребра (ветви) графа определяют направления и интенсивность перехода (λ, μ) из одного состояния в другое.

Правило.

Изменение вероятности нахождения объекта в i -ом состоянии определяется интенсивностью подхода объекта к этому состоянию и выходе из него:

(1)

где - вероятность нахождения объекта в j-ых состояниях, из которых осуществляется переход в состояние i с интенсивностями.

В уравнении (1) первый член правой части включает ветви, входящие в i –ый узел. Второй член правой части уравнения определяется ветвями, выходящими из узла i и входящими в узлы e.

Рассмотрим простейший пример составления графа состояний и системы дифференциальных уравнений надежности.

Измерительный комплект содержит первичный и вторичный приборы: первый характеризуется интенсивностью отказов λ₁ и восстановления μ₁, второй соответственно λ₂ и μ₂.

Для рассматриваемого комплекта возможны три состояния, два из которых являются отказовыми:

H₀ – оба прибора находятся в работоспособном состоянии;

H₁ – отказал первичный прибор;

H₂ – отказал вторичный прибор.

Граф состояний имеет вид:

μ₂

λ₂

λ₁

μ₁

H₁

H₀

H₂

Рисунок 1. Граф состояний измерительного комплекта

Система дифференциальных уравнений, описывающая вероятность нахождения измерительного комплекта в том или ином состоянии, имеет вид:

(2)

Система уравнений (2) дополняется уравнением

Проверкой правильности составления системы уравнений служит равенство нулю суммы правых частей всех уравнений системы (1)

Преобразование Лапласа позволяет систему (2) перевести в систему алгебраических уравнений, для решения которых используются матричные методы. Пусть в начальный момент времени комплект находится в работоспособном состоянии,, тогда

или

Пример.

Определить коэффициент готовности комплекта расходомера, включающего диафрагму, дифманометр с импульсными линиями и вторичный прибор дифференциально-трансформаторной системы. Восстановление заключается в отыскании места отказа и замене отказавшего элемента исправным. Интенсивности отказов и восстановления дифманометра с импульсной линией и диафрагмы составляют λ₁ =0,7·10^-4 ч^-1; μ₁ =0,8 ч^-1, для вторичного прибора λ₂ =2·10^-4 ч^-1; μ₂ =1·ч^-1.

Решение.

Граф состояний данной измерительной системы изображен на рисунке 2.

Представив (2) путем приведения подобных членов в виде

и, применяя правило Крамера, получим:

откуда

μ₂

λ₂

λ₁

μ₁

1

0

2

Рисунок 2. Граф состояний измерительной системы

Функция готовности представляет собой оригинал выражения.

Коэффициент готовности

Дата добавления: 2014-01-05