Малюнок № 7.15

Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД), АВ=а, АД=b і ÐВАД=a. Знайдемо ВК із DАВК. ВК:АВ=sina. Оскільки S(DАВД)=¹/₂АД×ВК=¹/₂АД×АВsina, то S(АВСД)=а×bsina. Другу формулу також виведено.

Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d₁, ВД=d₂ і позначимо ÐАОВ=g. Тоді ÐАОД=180°-g. S(АВСД)=2S(DАВД)=2S(DВОА)+2S(DАОД)=2¹/₂ВОАОsing+2¹/₂АООДsin(180°-g)=АО(ВОsing+ОДsin(180°-g)). Оскільки sin(180°-g)=sing, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sing=АОВДsing=¹/₂АСВДsing. Врахувавши, що ВД=d₂ і АС=d₁, матимемо: S(АВСД)= ¹/₂АСВДsing=¹/₂d₁d₂. Теорему доведено повністю.

Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=¹/₂(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=¹/₂(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.

Доведення:

Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 7.16.) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=¹/₂АД×ВК+¹/₂ВС×ВК=¹/₂ВК×(АД+ВС)= ½(а+b)×h=m×h. Теорему доведено.

В а С

А К b Д

Дата добавления: 2014-01-05