Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенная квадратичная форма, приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Одну и ту же квадратичную форму можно привести к каноническому виду несколькими способами, но число членов с положительными коэффициентами, также, как и число членов с отрицательными коэффициентами во всех канонических формах квадратичной формы будет одинаковым. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм, т.е. справедлива теорема:

Если данная квадратичная форма с помощью двух различных линейных преобразований приводится к каноническому виду, то число положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, также, как и число отрицательных, в обоих случаях будет одним и тем же.

Число всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом этой квадратичной формы. Число положительных членов называется ее положительным индексом. Практически возможно найти ранг и положительный индекс квадратичной формы.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых, неравных одновременно нулю значениях переменных, ее значение положительно.

Пример:

1. – положительно определенная квадратичная форма.

2. – не является положительно определенной квадратичной формой.

Справедлива теорема:

Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы ее положительный индекс равнялся n.

Имеет место критерий Сильвестра.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны.

Рассмотрим квадратичную форму: (1)

Рассмотрим матрицу этой квадратичной формы и составим характеристическое уравнение:

= 0 (2).

Тогда есть – корни уравнения (2). (Известно, что если матрица симметричная, то все ее собственные значения будут действительными числами), следовательно, канонический вид этой формы таков: (3), здесь каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

Для нахождения коэффициентов в каноническом виде (3) достаточно решить характеристическое уравнение (2). Укажем способ нахождения ортонормированного базиса и ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму у виду (3)

Определение: Линейный оператор называется ортогональным, если его матрица ортогональна. Квадратная матрица называется ортогональной, если.

Пусть – корень характеристического уравнения (2). Решим систему:

Найдем собственный вектор (в случае, когда кратность равна 1), соответствующий собственному значению.

Пусть кратность корня равна m > 1. После его подстановки в систему (4) найдем m линейно независимых решений, выбрав их так, чтобы они определяли m попарно ортогональных единичных векторов. Эти векторы образуют ортонормированный базис m-мерного подпространства, состоящего из собственных векторов, соответствующих данному собственному значению. Проведем такие же рассуждения для каждого из корней характеристического уравнения, в результате получим искомый ортонормированный базис.

Матрицу ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду, можно получить транспонированием матрицы перехода от базиса к базису.

Пример: С помощью ортогонального преобразования привести к каноническому виду: (1)

1. Находим канонический вид квадратичной формы.

а) запишем матрицу квадратичной формы:

б) составим характеристическое уравнение:

Искомым каноническим видом является:

2. Найдем базис, в котором квадратная форма имеет канонический вид.

(3)

а)

Находим какое-либо решение полученной системы: им является вектор. Нормируя его, найдем базисный вектор:.

б) Находим векторы и нового базиса, соответствующие значению. Будем иметь:

(4)

Отсюда видно, что векторы и уже ортогональны вектору. Одно из решений системы (4) можно взять произвольно, если, например, положить, т.е. положим вектор. Нормируя его, получим второй базисный вектор. Теперь найдем вектор, координаты которого удовлетворяют уравнению (4) и который ортогонален вектору. Найдем его координаты, решая систему:

.

Определим какое-либо решение системы:

Нормализуя вектор, получим.

Итак, базис:

3. Находим ортогональное преобразование, приводящее данную форму к каноническому виду.

1. Записываем выражение векторов нового базиса через векторы старого ортонормированного базиса.

Матрица искомого ортогонального преобразования получается при транспонировании матрицы предыдущей системы, следовательно, искомое преобразование примет вид:

.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Дата добавления: 2014-01-05