В умовах конкуренції

Модель зростання випуску продукції

Припустимо, що деяка фірма випускає продукцію й продає її за ціною за одиницю. Позначимо через обсяг продукції, яка реалізована в момент часу . Нехай ціна залежить від обсягу продукції. Тоді - спадна функція, тобто зі збільшенням обсягу випуску продукції її ціна на ринку зменшується. Це означає, що У момент часу фірма одержує доход . Якщо частина доходу використовується на інвестиції у виробництво реалізованої продукції, то за умови не насиченості ринку швидкість випуску продукції пропорційна збільшенню інвестицій, тобто , де - це норма інвестицій, - норма акселерації, - стала ціна.

У випадку, коли ціна , дістанемо диференціальне рівняння першого порядку відносно із відокремленими змінними

, (7)

де . Оскільки всі співмножники в правій частині цього рівняння додатні, то й , тобто функція зростаюча. Характер зростання функції визначається її другою похідною. Диференціюючи рівняння (7), дістанемо

(8)

Оскільки еластичність попиту , то рівність (8) можна записати у вигляді

.

Ураховуючи, що , а отже, й , остаточно дістанемо

. (9)

Із рівності (12.58) випливає, що за еластичного попиту, тобто коли , графік функції має напрям опуклості вниз, а це означає прогресивне зростання; за нееластичного попиту, тобто при , графік функції має напрям опуклості вгору, що означає вповільнене зростання (насичення).

Розглянемо залежність ціни від попиту у вигляді лінійної функції

(10)

Тоді рівняння (7) і (9) набирають вигляду

(11)

І

(12)

Відповідно.

Зі співвідношень (11) і (12) дістанемо, що при і при при . Отже, - точка перегину графіка функції .

Графік функції - однієї з інтегральних кривих диференціального рівняння – називають логістичною кривою.

Дата добавления: 2014-01-05