Розв'язування задачі. Джерела і класифікація похибок

Лекція І ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК

Процес розв'язування будь-якої реальної фізичної, економічної задачі можна розбити на такі етапи:

1. Побудова математичної моделі (математичне формулювання задачі), що охоплює найважливіші для даної задачі сторони явища.

2. Вибір методу розв'язування. Для деяких найпростіших моделей вдається дістати аналітичні розв'язки задачі, а для складніших здебільшого не вдається. У цих випадках використовують наближені методи, зокрема чисельні.

3. Алгоритмізація процесу. При застосуванні чисельних методів потрібно записати алгоритм розв'язування задачі. Якщо задача розв'язуватиметься на ЕОМ, то треба також скласти програму.

4. Виконання обчислень (на ЕОМ чи вручну).

5. Аналіз результатів (осмислення математичного розв'язку і зіставлення його з експериментальними даними).

Важливо вміти оцінити точність розв'язку задачі, який здебільшого ми дістаємо з похибками. Під похибкою будемо розуміти величину, що характеризує точність результату. Похибки результатів зумовлюються такими причинами:

1) Математична модель лише наближено відображає реальні явища.

2) Вхідні дані, як правило, — це числа неточні (дані для обчислень часто дістають з експерименту, а кожний експеримент може дати результат лише з обмеженою точністю).

3) Метод розв'язування задачі часто є наближеним. У багатьох задачах точний результат можна дістати лише після нескінченної або досить великої кількості арифметичних операцій, які практично здійснити неможливо. Тому замість точного розв'язку здебільшого доводиться відшукувати наближений (наприклад, замість суми ряду беруть суму скінченної кількості його членів, нескінченний ітераційний процес обривають після скінченного числа ітерацій, інтеграл замінюють скінченною сумою і т. п.).

4) Округлення при обчисленнях. Усі обчислення (вручну і на ЕОМ) можна виконувати лише з обмеженою кількістю значущих цифр. Тому при виконанні арифметичних дій потрібно вдаватися до округлень, які зумовлюють похибки, що нагромаджуються в процесі обчислень.

Похибки, що породжуються вищезгаданими причинами, відповідно називаються:

1) похибка математичної моделі;

2) неусувна похибка (вона не залежить від обчислювача);

3) похибка методу;

4) похибка округлень.

Повна похибка результату дорівнює сумі всіх перелічених похибок.

Зауважимо, що похибок, пов'язаних з особливостями побудови математичної моделі, не розглядатимемо. Похибки методів досліджуватимемо в кожному окремому випадку.

При виконанні обчислень потрібно дотримуватися такого правила: у проміжних результатах похибка округлення має бути значно меншою від інших похибок. При обчисленнях вручну це правило забезпечується збереженням запасних цифр. На сучасних ЕОМ числа записуються також з достатньою кількістю значущих цифр, тому похибкою окремого округлення здебільшого можна нехтувати на противагу похибці методу і неусувній похибці. У процесі виконання великої кількості операцій похибка округлень збільшується. До значного нагромадження таких похибок може призвести віднімання близьких за величиною чисел, знаходження коренів многочленів високих степенів тощо.

Розглянемо приклади округлення чисел:

x= 2,8497621 x= 345,453275

x^*= 2,849762 x^*= 345,45328

x^*= 2,84976 x^*= 345,4533

x^*= 2,8498 x^*= 345,453

x^*= 2,850 x^*= 345,45

x^*= 2,85 x^*= 345,5

x^*= 2,8 x^*= 345

x^*= 3 x^*= 3,5·10²

x^*= 3·10²

Зауваження: При округлені цілого числа відкинуті знаки не можна заміняти нулями, а потрібно застосовувати множення на відповідний степінь числа 10.

Дата добавления: 2014-01-05