Законы Кирхгофа

Лекция №2.

Линейные электрические цепи отвечают двум законам Кирхгофа:

1ый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю.

(2.1)

1ый закон Кирхгофа имеет еще другую формулировку. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.

Термин “алгебраическая” в первой формуле означает, что необходимо учитывать знак перед каждым током. При этом можно использовать следующее правило: если ток втекает в узел, то он берется со знаком “+”, если вытекает – то “-“. Однако во многих учебниках используется другое правило знаков: если ток втекает в узел, то он берется со знаком “-”, если вытекает – то “+”. Это равнозначно умножению (2.1) на “-1”. При решении задач можно пользоваться любым правилом знаков, однако, выбрав одно какое – то правило – менять его нельзя! Т.е. для всех уравнений нужно использовать одно и тоже правило.

Прежде чем рассмотреть 1ый закон Кирхгофа на конкретном примере разберемся, что такое узел:

Узлом электрической цепи называется точка в которой соединяются три и более ветвей (см. рис. 2). Две ветви узла не образуют!

Ветвь – это участок цепи, по которому протекает один и тот же ток.

Ветвь может содержать сопротивления, ЭДС, индуктивности, емкости и т.д. При этом в ветви может находится несколько элементов, соединенных последовательно, ток, протекающий по ним один и тот же().(см. рис.3)

Номер ветви совпадает с номером тока, который протекает в ней. Индексы элементов, стоящих в ветви, как правило, совпадают с номером ветви. Узлы электрической цепи нумеруются, либо им присваивается буквенные обозначения.

Запишем 1ый закон Кирхгофа для узла “а” на рис.2. Токи, втекающие в узел ,,, берутся со знаком “+”, токи, вытекающие из узла - ,,- берутся со знаком “-”.

(*)

Умножим все токи этого уравнения на “-1”:

При этом получилось, что втекающие токи ,,имеют знак “-”, а вытекающие – “+”.

Перенесем токи ,,из левой части уравнения (*) в правую:

Таким образом, мы получили вторую формулировку 1го закона Кирхгофа, что сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих из узла токов.

2й закон Кирхгофа формулируется для контура электрической цепи.

Контуром электрической цепи называется любой замкнутый путь, проходящий через различные участки элементы схемы, кроме источников тока. При этом каждый элемент в контуре должен быть пройден только один раз.

Сколько узлов и контуров на рисунке:

4-е узла (a, b, c, d) и 7 контуров:

1 к – a, e, c, f, b,a (включает , , , , )

2 к – a, b, d, a (,,)

3 к – b, f, c, g, d, b (,, ,, )

4 к – a, b, f, c, g, d, a (,,, ,,)

5 к – a, e, c, g, d, b, a (,,,, ,)

6 к – a, e, c, f, b, d, a (,,,, ,)

7к – внешний.

Направление обхода контура выбирается произвольно перед началом решения задачи и обозначается на схеме в виде разомкнутой окружности или эллипса со стрелкой, указывающей направление обхода контура.(см.рис4).

Если контур имеет сложную форму, как контуры (a, e, c, g, d, b, a) и (a, e, c, f, b, d, a), то направление обхода указывается кривой, идущей вдоль контура и имеющей стрелку, указывающую направление обхода контура.(см.рис3). Контур рекомендуется нумеровать.

2й закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в данном контуре.

Термин “алгебраическая сумма” означает, что необходимо учитывать знак перед падением напряжения и перед ЭДС.

Для падений напряжений на сопротивлениях контура действует следующее правило знаков: если ток, протекающий через данное сопротивление, совпадает с направлением обхода контура, то напряжение на этом сопротивлении берется со знаком “+”, в противном случае ставится знак “-”.

Для ЭДС правило знаков выглядит так: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то перед данной ЭДС ставится знак “+”, в противном случае – знак “-”.

В качестве примера запишем уравнения ко 2му закону Кирхгофа для 1, 2, 3 контуров на схеме рис5.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке.

В принципе, направление обхода контура выбирается произвольно перед началом решения задачи и сохраняется до конца. Перед решением задачи также указываются наиболее вероятные направления токов в ветвях, хотя выбор направления токов произвольный. Если в ответе ток получился со знаком “+”, то следовательно мы угадали направление тока, а если “-”, то значит ток течет в другую сторону. Однако на схеме менять направления токов в ходе решения задачи нельзя. Как выбрали в начале решения, так и сохраняем до конца.

1к.

2к.

3к.

Мы видим, что все члены 3го уравнения имеют знак “-”. Следовательно, направление обхода 3го контура желательно взять против часовой стрелки, но это нужно делать перед началом решения задачи на этапе предварительного анализа.

Второй закон Кирхгофа имеет вторую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах, входящих в замкнутый контур равна 0.

Мы знаем, что на ЭДС всегда есть напряжение, равное по величине ЭДС и противоположное по знаку. Вторая формулировка равносильна переносу ЭДС из правой части в левую.

Правило знаков для напряжений на ЭДС: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то напряжение на ЭДС противоположно и берется со знаком “-”, в противном случае – “+”.

Дата добавления: 2014-01-05